Có bao nhiêu số phức $\Large z$ thoả mãn $\Large \left| z \right|\left

Có bao nhiêu số phức  $\Large z$ thoả mãn  $\Large \left| z \right|\left( z-4-i \right)+2i=\left( 5-i \right)z$.

• A. $\Large 2$.
• B. $\Large 3$.
• C. $\Large 1$.
• D. $\Large 4$.

Ta có

 $\Large \left| z \right|\left( z-4-i \right)+2i=\left( 5-i \right)z$ $\Large \Leftrightarrow z\left( \left| z \right|-5+i \right)=4\left| z \right|+\left( \left| z \right|-2 \right)i$.

Lấy môđun 2 vế phương trình trên ta được

 $\Large \left| z \right|\sqrt{{{\left( \left| z \right|-5 \right)}^{2}}+1}=\sqrt{{{\left( 4\left| z \right| \right)}^{2}}+{{\left( \left| z \right|-2 \right)}^{2}}}$.

Đặt  $\Large t=\left| z \right|,$  $\Large t\ge 0$ ta được

 $\Large t\sqrt{{{\left( t-5 \right)}^{2}}+1}=\sqrt{{{\left( 4t \right)}^{2}}+{{\left( t-2 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow \left( t-1 \right)\left( {{t}^{3}}-9{{t}^{2}}+4 \right)=0$.

Phương trình có 3 nghiệm phân biệt  $\Large t\ge 0$ vậy có 3 số phức z thoả mãn.