Cho hàm số $\Large y=f\left( x \right)$ thỏa mãn $\Large {{2020}^{f\le

Cho hàm số $\Large y=f\left( x \right)$ thỏa mãn $\Large {{2020}^{f\left( x \right)}}=x+\sqrt{{{x}^{2}}+2020},\forall x\in \mathbb{R}.$ Có bao nhiêu số nguyên $\Large m$ thỏa mãn $\Large f\left( \log m \right)

• A. $\Large 66$.
• B. $\Large 63$.
• C. $\Large 65$.
• D. $\Large 64$.

Chọn D
Vì $\Large x+\sqrt{{{x}^{2}}+2020}>x+\left| x \right|\ge 0\Rightarrow x+\sqrt{{{x}^{2}}+2020}>0,\forall x\in \mathbb{R}$.
Từ giả thiết $\Large {{2020}^{f\left( x \right)}}=x+\sqrt{{{x}^{2}}+2020}\Leftrightarrow f\left( x \right)={{\log }_{2020}}\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+2020} \right).$
Ta có $\Large {f}'\left( x \right)=\dfrac{1+\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2020}}}{\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+2020} \right)\ln 2020}=\dfrac{x+\sqrt{{{x}^{2}}+2020}}{\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+2020} \right)\ln 2020\sqrt{{{x}^{2}}+2020}}>0,\forall x\in \mathbb{R}$
Suy ra hàm số $\Large f\left( x \right)$ luôn đồng biến trên $\Large \mathbb{R}.$
Mà với $\Large \left\{ \begin{matrix}
& m>0 \\ 
& m\ne 1 \\ 
\end{matrix} \right.$ thì  $\Large f\left( \log m \right)  $\Large \Leftrightarrow \dfrac{{{\log }^{2}}m-\log 2020}{\log m}<0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
& 0<\log m<\sqrt{\log 2020} \\ 
& \log m<-\sqrt{\log 2020} \\ 
\end{matrix} \right.$$\Large \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
& 1 & m<{{10}^{-\sqrt{\log 2020}}}\approx 0,02 \\ 
\end{matrix} \right..$
Kết hợp với $\Large \left\{ \begin{matrix}
& m>0 \\ 
& m\ne 1 \\ 
\end{matrix} \right.$ và $\Large m\in \mathbb{Z}$ nên $\Large m\in \left\{ 2;3;\ldots ;65 \right\}.$
Vậy có tất cả $\Large 64$ giá trị nguyên $\Large m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán