Trong không gian $\Large Oxyz$, cho điểm $\Large A\left( 1;4;3 \right)

Trong không gian  $\Large Oxyz$, cho điểm $\Large A\left( 1;4;3 \right)$ và mặt phẳng $\Large \left( P \right):2y-z=0$. Biết điểm $\Large B$ thuộc $\Large \left( P \right)$, điểm $\Large C$ thuộc $\Large \left( Oxy \right)$ sao cho chu vi tam giác $\Large ABC$ nhỏ nhất. Hỏi giá trị nhỏ nhất đó là

• A. $\Large 6\sqrt{5}$.
• B. $\Large 2\sqrt{5}$.
• C. $\Large 4\sqrt{5}$.
• D. $\Large \sqrt{5}$.

Chọn C
Gọi $\Large H$ là hình chiếu vuông góc của $\Large A\left( 1;4;3 \right)$ lên mặt phẳng $\Large \left( Oxy \right)$$\Large \Rightarrow H\left( 1;4;0 \right)$
Gọi $\Large {{A}_{1}}$ là điểm đôi xứng của $\Large A$ qua mặt phẳng $\Large \left( Oxy \right)$, ta tìm được $\Large {{A}_{1}}\left( 1;4;-3 \right)$
Gọi $\Large K$ là hình chiếu vuông góc của $\Large A\left( 1;4;3 \right)$ lên mặt phẳng $\Large \left( P \right)$
Ta có phương trình đường thẳng $\Large AK:\left\{ \begin{matrix}
& x=1 \\ 
& y=4+2t \\ 
& z=3-t \\ 
\end{matrix} \right.$, Gọi $\Large K\left( 1;4+2t;3-t \right)\in AK$
Mặt khác, $\Large K\in \left( P \right)\Rightarrow 5t+5=0\Rightarrow t=-1$ $\Large \Rightarrow K\left( 1;2;4 \right)$
Gọi $\Large {{A}_{2}}$ là điểm đôi xứng của $\Large A$ qua mặt phẳng $\Large \left( P \right)$ thì $\Large K$ là trung điểm của $\Large A{{A}_{2}}$.
Ta có $\Large \left\{ \begin{matrix}
& {{x}_{{{A}_{2}}}}=2{{x}_{K}}-{{x}_{A}}=1 \\ 
& {{y}_{{{A}_{2}}}}=2{{y}_{K}}-{{y}_{A}}=0 \\ 
& {{z}_{{{A}_{2}}}}=z{{x}_{K}}-{{z}_{A}}=5 \\ 
\end{matrix} \right.$ $\Large \Rightarrow {{A}_{2}}\left( 1;0;5 \right)$
Ta có chu vi tam giác $\Large ABC$ là $\Large {{P}_{\Delta ABC}}=AC+AB+BC={{A}_{1}}C+{{A}_{2}}B+BC\ge {{A}_{1}}{{A}_{2}}$.
Dấu bằng xảy ra khi $\Large {{A}_{1}},{{A}_{2}},B,C$ thẳng hàng
Suy ra $\Large {{\left( {{P}_{\Delta ABC}} \right)}_{\min }}={{A}_{1}}{{A}_{2}}=4\sqrt{5}$.