Có bao nhiêu số nguyên $\Large m$ để hàm số $\Large f(x)=m(2020+x-2\co

Có bao nhiêu số nguyên $\Large m$ để hàm số $\Large f(x)=m(2020+x-2\cos x)+\sin x-x$ nghịch biến trên $\Large \mathbb{R}$?

• A. Vô số.
• B. 2.
• C. 1.
• D. 0.

Chọn C

Ta có $\Large f'(x)=m(1+2\sin x)+\cos x-1$.

Vì phương trình $\Large f'(x)=0$ nếu có nghiệm thì các nghiệm rời rạc. Do đó, hàm số $\Large f(x)$ nghịch biến trên $\Large \mathbb{R}$ $\Large \Leftrightarrow f'(x)\leq 0\ \forall x\in \mathbb{R}$.

$\Large \Rightarrow \left\{\begin{align} & f'(0)\leq 0 \\ & f'\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\leq 0 \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow -1\leq m\leq 0$. Vì $\Large m\in \begin{Bmatrix} -1; 0 \end{Bmatrix}$.

Thử lại 

Với $\Large m=0$ thỏa mãn.

Với $\Large m=-1$ thì $\Large f'(x)=-2-2\sinx+\cos x$, ta thấy $\Large f'\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) > 0$. Do đó $\Large m=-1$ không thỏa mãn. Vậy có một giá trị $\Large m$ thỏa ycbt.