Cho hàm số $\Large f(x)$ có đạo hàm $\Large \forall x\geq -1$, thỏa mã

Cho hàm số $\Large f(x)$ có đạo hàm $\Large \forall x\geq -1$, thỏa mãn $\Large f(0)=\dfrac{2}{3}$ và $\Large \left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)f'(x)=1$, $\Large \forall x \geq -1$. Biết rằng $\Large \int\limits_0^1f(x)\mathrm{d}x=\dfrac{a\sqrt{2}+b}{15}$ trong đó $\Large a, b$ là số nguyên. Tính $\Large T=a+b$.

• A.

  $\Large T=-8$.

• B.

  $\Large T=-24$.

• C.

  $\Large T=24$.

• D.

  $\Large T=8$.

Chọn D
Từ giả thiết ta có $\Large f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$, $\Large \forall x \geq -1$.

Nên $\Large \int f'(x)\mathrm{d}x=\int \left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)\mathrm{d}x$ $\Large \Leftrightarrow f(x)=\dfrac{2}{3}\left[(x+1)\sqrt{x+1}-x\sqrt{x}\right]+C$

Do $\Large f(0)=\dfrac{2}{3}\Rightarrow C=0$

Nên $\Large \int\limits_0^1f(x)\mathrm{d}x=\dfrac{2}{3}\int\limits_0^1\left[(x+1)\sqrt{x+1}-x\sqrt{x}\right]\mathrm{d}x$ $\Large =\dfrac{4}{15}\left[(x+1)^2\sqrt{x+1}-x^2\sqrt{x}\right]\bigg|_0^1$ $\Large =\dfrac{16\sqrt{2}-8}{15}$

Vậy $\Large a=16$; $\Large b=-8$ $\Large \Rightarrow T=a+b=8$.