Xét các số thực $\Large x, y$ thỏa mãn $\Large \mathrm{log}_2(x-1)+\ma

Xét các số thực $\Large x, y$ thỏa mãn $\Large \mathrm{log}_2(x-1)+\mathrm{log}_2(y-1)=1$. Khi biểu thức $\Large P=2x+3y$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $\Large 3x-2y=a+b\sqrt{3}$ với $\Large a, b\in \mathbb{Q}$. Tính $\Large T=ab$.

• A.

  $\Large T=9$.

• B.

  $\Large T=\dfrac{7}{3}$.

• C.

  $\Large T=\dfrac{5}{3}$.

• D.

  $\Large T=7$.

Chọn C
Điều kiện xác định $\Large x, y > 1$. Có $\Large \mathrm{log}_2(x-1)+\mathrm{log}_2(y-1)=1$ $\Large \Rightarrow \mathrm{log}_2\left[(x-1)(y-1)\right]=1$

$\Large \Rightarrow (x-1)(y-1)=2$ $\Large \Rightarrow y=\dfrac{2}{x-1}+1$.

Khi đó $\Large P=2x+3y=2x+3y\left(\dfrac{2}{x-1}+1\right)$ $\Large =2x-2+\dfrac{6}{x-1}+5\geq 2\sqrt{(2x-2).\dfrac{6}{x-1}}+5=5+4\sqrt{3}$.

Dấu bằng xảy ra $\Large \Leftrightarrow 2x-2=\dfrac{6}{x-1}$ $\Large \Leftrightarrow (x-1)^2=3$ $\Large \Rightarrow x=\sqrt{3}+1$.

Khi đó $\Large y=\dfrac{2}{x-1}+1=\dfrac{3+2\sqrt{3}}{3}$ $\Large \Rightarrow 3x-2y=1+\dfrac{5}{3}\sqrt{3}$. Vậy $\Large a=1, b=\dfrac{5}{3}$ $\Large \Rightarrow T=ab=\dfrac{5}{3}$.