Có bao nhiêu bộ số $\Large (x; y)$ với $\Large x, y$ nguyên và $\Large

Có bao nhiêu bộ số $\Large (x; y)$ với $\Large x, y$ nguyên và $\Large 1\leq x, y\leq 2020$ thỏa mãn $\Large (xy+2x+4y+8)\mathrm{log}_3\left(\dfrac{2y}{y+2}\right)\leq (2x+3y-xy-6)\mathrm{log}_2\left(\dfrac{2x+1}{x-3}\right)$?

• A.

  2017.

• B.

  4043.

• C.

  2.

• D.

  $\Large 3017\times 2020$.

Chọn B

+) Từ giả thiết của bài toán, ta có điều kiện $\Large x > 3$, bất phương trình đã cho tương dương với $\Large (x+4)(y+2)\mathrm{log}_3\dfrac{2y}{y+2}\leq (2-y)(x-3)\mathrm{log}_2\dfrac{2x+1}{x-3}$

+) Vì $\Large y$ nguyên dương nên ta xét các trường hợp sau:

* TH1: $\Large y > 2$. Khi đó $\Large \dfrac{2y}{y+2} > 1$ $\Large \Rightarrow VT > 0$, để bất phương trình có nghiệm thì $\Large \mathrm{log}_2\dfrac{2x+1}{x-3} < 0$ $\Large \Leftrightarrow \dfrac{2x+1}{x-3} < 1$ $\Large \Leftrightarrow x < -4$ vô lý. Vậy trường hợp này không xảy ra.

* TH2: $\Large y=2$. Khi đó cả 2 vể đều bằng 0 nên bất phương trình luôn đúng, tức là mọi $\Large x\in \begin{Bmatrix} 4; 5;...; 2020 \end{Bmatrix}$. Ta có 2017 cặp nghiệm nguyên.

* TH3: $\Large y < 2$ $\Large \Rightarrow y=1$. Khi đó bất phương trình có dạng 

$\Large 3(x+4)\mathrm{log}_3\dfrac{2}{3}\leq (x-3)\mathrm{log}_2\dfrac{2x+1}{x-3}$ $\Large 3\mathrm{log}_3\dfrac{2}{3}.\dfrac{x+4}{x-3}-\mathrm{log}_2\dfrac{2x+1}{x-3}\leq 0$.

+) Với $\Large x\geq 4$ $\Large \Rightarrow \left\{\begin{align} & \dfrac{x+4}{x-3}\geq 0 \\ & \mathrm{log}_3\dfrac{2}{3} < 0 \end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow 3\mathrm{log}_3\dfrac{2}{3}.\dfrac{x+4}{x-3} < 0$ và $\Large \mathrm{log}_2\dfrac{2x+1}{x-3} > 0$. Do đó bất phương trình trên nghiệm đúng với mọi $\Large x\in \begin{Bmatrix} 4; 5;...; 2020 \end{Bmatrix}$, tức là trường hợp này cũng có 2017 cặp nghiệm. Kết luận có 4034 cặp nghiệm.

Cách khác:

* TH3: $\Large y < 2$ $\Large \Rightarrow y=1$. Khi đó bất phương trình có dạng

$\Large 3(x+4)\mathrm{log}_3\dfrac{2}{3}\leq (x-3)\mathrm{log}_2\dfrac{2x+1}{x-3}$ $\Large 3\mathrm{log}_3\dfrac{2}{3}.\dfrac{x+4}{x-3}-\mathrm{log}_2\dfrac{2x+1}{x-3}\leq 0$.

+) Xét hàm $\Large f(x)=3\mathrm{log}_3\dfrac{2}{3}.\dfrac{x+4}{x-3}-\mathrm{log}_2\dfrac{2x+1}{x-3}$ trên $\Large (3; +\infty)$ có

$\Large f'(x)=3\mathrm{log}_3\dfrac{2}{3}.\dfrac{-7}{(x-3)^2}-\dfrac{-7(x-3)}{(x-3)^2.(2x+1)\mathrm{ln}2}=0$ $\Large \Leftrightarrow 3\mathrm{log}_3\dfrac{2}{3}.-\dfrac{(x-3)}{(2x+1)\mathrm{ln}2}=0$

$\Large \Leftrightarrow 3\mathrm{log}_3\dfrac{2}{3}\mathrm{ln}2.(2x+1)=x-3$ $\Large \Leftrightarrow x=\dfrac{-3-3\mathrm{log}_3\dfrac{2}{3}.\mathrm{ln}2}{6\mathrm{log}_3\dfrac{2}{3}.\mathrm{ln}2-1}\approx 0,88\notin (3; +\infty)$.

+) Vậy với $\Large x > 3$ thì dấu của $\Large f'(x)$ cùng dấu $\Large f'(4)\approx 8,87 > 0$, nói cách khác $\Large f(x)$ đồng biến trên $\Large  (3; +\infty)$, do đó $\Large f(x)\leq \underset{x\rightarrow +\infty}{lim}f(x)=3\mathrm{log}_3\dfrac{2}{3}-\mathrm{log}_22\approx -2,1 < 0$. Vậy mọi $\Large x\in \begin{Bmatrix} 4; 5;...; 2020 \end{Bmatrix}$ là nghiệm, tức là trường hợp này cũng có 2017 cặp nghiệm.

Kết luận có 4034 cặp nghiệm.