Có bao nhiêu giá trị thực của $\Large m$ để bất phương trình $\Large 4

Có bao nhiêu giá trị thực của $\Large m$ để bất phương trình $\Large 4^x-(m+1)2^x+m<0$ vô nghiệm ?

 

• A.

  A. 2

• B.

  B. Vô số

• C.

  C. 1

• D.

  D. 0

$\Large 4^x-(m+1)2^x+m<0 (1)$

Đặt $\Large 2^x=t(t>0)$

Khi đó bất phương trình đã cho: $\Large \Leftrightarrow t^2-(m+1)t+m<0$ (*)

TH1: $\Large m=1\Rightarrow (*)\Leftrightarrow t^2-2t+1<0\Leftrightarrow (t-1)^2<0 $

$\Large \Rightarrow$ bất phương trình vô nghiệm

$\Large \Rightarrow m=1$ thỏa mãn

TH2: $\Large m\neq1$

$\Large \begin{align}\Rightarrow (*)\Leftrightarrow t^2-mt-t+m<0\Leftrightarrow t^2-t-(mt-m)<0\\\Leftrightarrow t(t-1)-m(t-1)<0\Leftrightarrow (t-1)(t-m)<0\end{align}$

+) Với $\Large m>1$

$\Large \Rightarrow$ Tập nghiệm của bất phương trình là: $\Large S=\left(1;m\right)\subset(0;+\infty)$

$\Large \Rightarrow$ Bất phương trình (*) luôn có nghiệm $\Large t>0$

$\Large \Rightarrow (1)$ luôn có nghiệm $\Large x\Rightarrow m>1$ không thỏa mãn

+) Với $\Large m<1$

$\Large \Rightarrow$  Tập nghiệm của bất phương trình là $\Large S=\left(m;1\right)$

$\Large \Rightarrow$ Bất phương trình (*) luôn có nghiệm $\Large 0

$\Large \Rightarrow (1)$ luôn có nghiệm $\Large x\Rightarrow m<1$ không thỏa mãn

Vậy chỉ có $\Large m=1$ thỏa mãn bài toán 

Đáp án cần chọn là C