Biết n à số nguyên dương thỏa mãn $\Large C _{n}^{n-1}+ C _{n}^{n-2}=7

Biết n à số nguyên dương thỏa mãn $\Large C _{n}^{n-1}+ C _{n}^{n-2}=78$, số hạng chứa $\Large x^4$ trong khai triển $\Large \left(x^{3}-\dfrac{2}{x}\right)^{n}$ là

• A.

  $\Large -126720 x^{4}$

• B.

  126720

• C.

  -112640

• D.

  $\Large 126720 x^{4}$

Điều kiện: $\Large n \geq 2, n \in \mathbb N$

Từ

$\Large C _{n}^{n-1}+ C _{n}^{n-2}=78 \Leftrightarrow \dfrac{n !}{1 !(n-1) !}+\dfrac{n !}{2 !(n-2) !}=78$

$\Large \Leftrightarrow n+\dfrac{n(n-1)}{2}=78 \Leftrightarrow n^{2}+n-156=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
n=12 \\
n=-13 \text { (loại) }
\end{array}\right.$

Ta có:

$\Large \left(x^{3}-\dfrac{2}{x}\right)^{n}=\left(x^{3}-\dfrac{2}{x}\right)^{12}=\sum_{k=0}^{12} C_{12}^{k}\left(x^{3}\right)^{12-k}\left(-\dfrac{2}{x}\right)^{k}$$\Large =\sum_{k=0}^{12} C_{12}^{k}(-2)^{k} x^{36-4 k}$

Số hạng chứa $\Large x^4$ ứng với k thỏa mãn: 

$\Large 36-4 k=4 \Leftrightarrow k=8$

Số hạng chứa $\Large x^4$ là $\Large C_{12}^{\infty}(-2)^{8} x^{4}=126730 x^{4}$

Chọn đáp án D