Tính tổng sau: $\Large \left(C_{n}^{0}\right)^{2}+\left(C_{n}^{1}\righ

Tính tổng sau:

$\Large \left(C_{n}^{0}\right)^{2}+\left(C_{n}^{1}\right)^{2}+\left(C_{n}^{2}\right)^{2}+\cdots+\left(C_{n}^{n}\right)^{2}$

• A. chưa có đáp án
• B.
• C.
• D.

Ta có:

$\Large (x+1)^{n}(1+x)^{n}=(x+1)^{2 n}$

Vế trái của hệ thức trên chính là:

$\Large \left(x^{n} C_{n}^{0}+x^{n-1} C_{n}^{1}+x^{n-2} C_{n}^{2}+\cdots+C_{n}^{n}\right)\left(C_{n}^{0}+x C_{n}^{1}+x^{2} C_{n}^{2}+\cdots+x^{n} C_{n}^{n}\right)$

Và ta thấy hệ số của $\Large x^n$ trong vế trái là:

$\Large \left(C_{n}^{0}\right)^{2}+\left(C_{n}^{1}\right)^{2}+\left(C_{n}^{2}\right)^{2}+\cdots+\left(C_{n}^{n}\right)^{2}$

Còn hệ số của $\Large x^n$ trong vế phải $\Large (x+1)^{2 n}$ là $\Large C_{2n}^n$

Do đó: 

$\Large \left(C_{n}^{0}\right)^{2}+\left(C_{n}^{1}\right)^{2}+\left(C_{n}^{2}\right)^{2}+\cdots+\left(C_{n}^{n}\right)^{2}=C_{2 n}^{n}$