Tìm hệ số của số hạng chứa $\Large x^8$ trong khai triển nhị thức Newt

Tìm hệ số của số hạng chứa $\Large x^8$ trong khai triển nhị thức Newton $\Large \left(\frac{1}{x^{3}}+\sqrt{x^{5}}\right)^{n}$, biết rằng $\Large C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^{n}=7(n+3)$

• A. chưa có đáp án
• B.
• C.
• D.

Trước hết ta tìm n từ hệ thức:

$\Large C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^{n}=7(n+3) \Leftrightarrow C_{n+3}^{n+1}+C_{n+3}^{n}-C_{n+3}^{n}=7(n+3)$ $\Large \Leftrightarrow \dfrac{(n+3) !}{(n+1) ! 2 !}=7(n+3)$

$\Large \Leftrightarrow(n+2)(n+3)=14(n+3) \Leftrightarrow(n+2)=14 \Leftrightarrow n-12$ (do $\Large n+3 > 0$)

Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có:

$\Large \left(\dfrac{1}{x^{3}}+\sqrt{x^{5}}\right)^{12}=\left(x^{-3}+x^{\dfrac{5}{2}}\right)^{12}$$\Large =\sum_{k=0}^{12} C_{12}^{k}\left(x^{-3}\right)^{k}\left(x^{\dfrac{5}{2}}\right)^{12-k}=\sum_{k=0}^{12} C_{12}^{k} x^{\dfrac{60-11 k}{2}}$

Từ phương trình $\Large \dfrac{60-11 k}{2}=8 \Rightarrow k=4$

Vậy số hạng chứ $\Large x^8$ trong khai triển tương ứng với $\Large k=4$, do đó hệ số của nó là $\Large C_{12}^{4}=495$