Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc (-2020;2020) để phương

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc (-2020;2020) để phương trình $\Large e^{x}=\ln (x+2 m)+2 m$ có nghiệm?

• A. 2019
• B. 2020
• C. 2021
• D. 4039

Chọn A

Ta có $\Large e^{x}=\ln (x+2 m)+2 m \Leftrightarrow e^{x}+x=\ln (x+2 m)+x+2 m$ $\Large \Leftrightarrow e^{x}+x=e^{\ln (x+2 m)}+\ln (x+2 m)$ (*)

Xét hàm số $\Large f(t)=e^{t}+t$ với $\Large t \in R \Rightarrow f^{\prime}(t)=e^{t}+1>0, \forall t$. Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên $\Large \mathbb R$

Do đó $\Large (*) \Leftrightarrow f(x)=f(\ln (x+2 m))$$\Large \Leftrightarrow x=\ln (x+2 m) \Leftrightarrow x+2 m=e^{x} \Leftrightarrow 2 m=e^{x}-x$

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $\Large 2 m \geq 1 \Leftrightarrow m \geq \dfrac{1}{2}$

Mà $\Large m \in \mathbb Z , m \in(-2020 ; 2020)$ nên $\Large m \in\{1 ; 2 ; 3 ; \ldots ; 2019\}$

Vậy có 2019 giá trị nguyên của tham số m thuộc (-2020;2020) để phương trình $\Large e^{x}=\ln (x+2 m)+2 m$ có nghiệm