Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $\Large m$ thuộc khoảng $\Larg

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $\Large m$ thuộc khoảng $\Large (-10; 10)$ sao cho đồ thị hàm số $\Large y=x^3-2mx^2+(2m+6)x$ có hai điểm cực trị nằm về hai phía khác nhau của trục hoành?

• A. 13.
• B. 14.
• C. 18.
• D. 19.

Đồ thị hàm số $\Large y=x^3-2mx^2+(2m+6)x$ có hai điểm cực trị nằm về hai phía
khác nhau của trục hoành khi và chỉ khi đồ thị hàm số

$\Large y=x^3-2mx^2+(2m+6)x$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
Tương đương phương trình $\Large x^3-2mx^2+(2m+6)x=0$ có ba nghiệm phân biệt.
Ta có: $\Large x^3-2mx^2+(2m+6)x=0$ (1) $\Large \Leftrightarrow x\left[x^2-2mx+(2m+6)\right]=0$

$\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align} & x=0\\ & x^2-2mx+(2m+6)=0\ (2) \end{align}\right.$

Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt $\Large \Leftrightarrow$ phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0 $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & {\Delta}'=m^2-2m-6 > 0 \\ & 2m+6\neq 0 \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align} & m > 1+\sqrt{7} \\ & m < 1-\sqrt{7} \end{align}\right.$ và $\Large m\neq -3$ $\Large \Leftrightarrow m > 1+\sqrt{7}$ hoặc $\Large \left\{\begin{align} & m < 1-\sqrt{7} \\ & m\neq -3 \end{align}\right.$.

Vì $\Large m$ là số nguyên và thuộc khoảng $\Large (-10; 10)$ nên

$\Large m\in \begin{Bmatrix}
-9; -8; -7; -6; -5; -4; -2; 4; 5; 6; 7; 8; 9
\end{Bmatrix}$

Vậy có 13 số nguyên $\Large m$ thỏa mãn điều kiện.