Biết tập nghiệm của bất phương trình $\Large x^2-6x+2+\log_2(x^2-2x)+\

Biết tập nghiệm của bất phương trình $\Large x^2-6x+2+\log_2(x^2-2x)+\log_{\frac{1}{2}}(x-1) < 0$ là khoảng $\Large \left(2; a+\sqrt{b}\right)$ với $\Large a, b\in\mathbb{N}$, giá trị của $\Large a+b$ bằng

• A. 10.
• B. 22.
• C. 8.
• D. 4.

Điều kiện $\Large \left\{\begin{align} & x^2-2x > 0\\ & x-1 > 0 \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow x > 2$.

Ta có $\Large x^2-6x+2+\log_2(x^2-2x)+\log_{\frac{1}{2}}(x-1) < 0$

$\Large \Leftrightarrow x^2-6x+2+\log_2(x^2-2x)-\log_2(x-1) < 0$

$\Large \Leftrightarrow x^2-2x+\log_2(x^2-2x) < 4(x-1)+2+\log_2(x-1)$

$\Large \Leftrightarrow x^2-2x+\log_2(x^2-2x) < 4(x-1)+\log_24(x-1)$

Xét $\Large f(u)=u+\log_2u$ $\Large \Rightarrow {f}'(u)=1+\dfrac{1}{u\ln 2} > 0\forall u > 0$

Hàm $\Large y=f(u)$ đồng biến trên $\Large (0; +\infty)$ (*).

Từ (*) ta có

$\Large x^2-2x+\log_2(x^2-2x) < 4(x-1)+\log_24(x-1)$ $\Large \Leftrightarrow x^2-2x < 4(x-1)\forall x > 2$

$\Large \Leftrightarrow x^2-6x+4 < 0$, $\Large \forall x > 2$ $\Large \Leftrightarrow 3-\sqrt{5} < x < 3+\sqrt{5}$, $\Large \forall x > 2$.

Đối chiếu với điều kiện ta có tập nghiệm là $\Large S=(2; 3+\sqrt{5})$

Vậy $\Large a=3; b=5\Rightarrow a+b=8$.