Cho hình chóp $\Large SABCD$ có đáy $\Large ABCD$ là hình vuông cạnh b

Cho hình chóp $\Large SABCD$ có đáy $\Large ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $\Large a$, $\Large SA=a\sqrt{3}$, $\Large SA\perp (ABCD)$. Gọi $\Large M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $\Large SB, SD$, mặt phẳng $\Large (AMN)$ cắt $\Large SC$ tại $\Large I$. Tính thể tích khối đa diện $\Large ABCDMNI$. 

• A.

  $\Large V=\dfrac{5\sqrt{3}a^3}{18}$.

• B.

  $\Large V=\dfrac{13\sqrt{3}a^3}{36}$.

• C.

  $\Large V=\dfrac{\sqrt{3}a^3}{18}$.

• D.

  $\Large V=\dfrac{5\sqrt{3}a^3}{6}$.

Gọi $\Large AC$ giao với $\Large BD$ tại $\Large E$, $\Large SE$ giao với $\Large MN$ tại $\Large F$ và $\Large AF$ giao với $\Large SC$ tại $\Large I$

Suy ra $\Large (AMN)\cap (SABCD)=AMIN$.

Vì $\Large M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $\Large SB, SD$.
Nên $\Large F$ là trung điểm của $\Large SE$.
Mà $\Large A, F, I$ thẳng hàng

$\Large \Rightarrow \dfrac{AC}{AE}.\dfrac{FE}{FS}.\dfrac{IS}{IC}=1$ $\Large \Rightarrow \dfrac{SI}{IC}=\dfrac{1}{2}$ $\Large \Rightarrow \dfrac{SI}{SI+IC}=\dfrac{1}{1+2}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \dfrac{SI}{SC}=\dfrac{1}{3}$.

Ta có $\Large \dfrac{V_{SAMI}}{V_{SABC}}=\dfrac{SA}{SA}.\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SI}{SC}=\dfrac{1}{6}$ $\Large \Rightarrow V_{SAMI}=\dfrac{1}{6}.V_{SABC}=\dfrac{1}{12}.V_{SABCD}$ và $\Large V_{SAMN}=2.V_{SAMI}=\dfrac{1}{6}.V_{SABCD}$.

Nên $\Large V_{ABCDMNI}=\dfrac{5}{6}.V_{SABCD}=\dfrac{5}{6}.\dfrac{1}{3}.a\sqrt{3}.a^2=\dfrac{5\sqrt{3}a^3}{18}$.

Chọn đáp án A.