Có 8 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang. Xếp ngẫu nhiên 8 học sinh

Có 8 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang. Xếp ngẫu nhiên 8 học sinh, gồm 3 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C, ngồi vào hàng ghế đó, sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh. Xác suất để có đúng 2 học sinh lớp A ngồi cạnh nhau bằng $\Large \dfrac{a}{b}$ với $\Large a, b \in \mathbb{N}, (a; b)=1.$ Khi đó giá trị $\Large a+b$ là

• A. 43.
• B. 93.
• C. 101.
• D. 21.

Chọn A

Không gian mẫu: $\Large n(\Omega)=8!=40320.$

Gọi A là biến cố có đúng 2 học sinh lớp A ngồi cạnh nhau. Khi đó $\Large \overline{A}$ là biến cố: Không có 2 học sinh nào của lớp A ngồi cạnh nhau hoặc 3 học sinh lớp A ngồi cạnh nhau.

* Tính $\Large n(\overline{A}).$

Trường hợp không có 2 học sinh nào của lớp A ngồi cạnh nhau:

+ Xếp 5 học sinh (3 học sinh lớp B, 2 học sinh lớp C) thành hàng ngang có 5! cách. Khi đó tạo ra 6 vị trí để có thể xếp 3 học sinh lớp A.

+ Chọn 3 vị trí từ 6 vị trí và xếp 3 học sinh lớp A có: $\Large C_6^3.3!$ cách.

Do đó có $\Large 5!.C_6^3.3!=14400$ cách trong trường hợp này.

Trường hợp 3 học sinh lớp A ngồi cạnh nhau:

+ Xem 3 học sinh lớp A như một phần tử cùng với 5 học sinh còn lại (3 học sinh lớp B, 2 học sinh lớp C) là 6 phần tử. Xếp thành hàng ngang có 6! cách.

+ Trong bộ 3 học sinh lớp A có 3! cách sắp xếp.

Do đó có: $\Large 6!.3!=4320$ cách trong trường hợp này.

Vậy: $\Large n(\overline{A})=18720.$

Suy ra: $\Large P(\overline{A})=\dfrac{n(\overline{A})}{n(\Omega)}=\dfrac{13}{28} \Rightarrow P(A)=1-\dfrac{13}{28}=\dfrac{15}{28}.$

Khi đó: $\Large a=15, b=28 \Rightarrow a+b=43.$