Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn An đã làm một

Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn An đã làm một chiếc mũ "cách điệu" cho ông già Noel có dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên dưới. Biết rằng $\Large O{O}'=5$ cm, $\Large OA=10$ cm, $\Large OB=20$ cm, đường cong $\Large AB$ là một phần của parabol có đỉnh là điểm $\Large A$. Thể tích của chiếc mũ bằng

• A. $\Large \dfrac{2750\pi}{3}\ (cm^3)$.
• B. $\Large \dfrac{2500\pi}{3}\ (cm^3)$.
• C. $\Large \dfrac{2050\pi}{3}\ (cm^3)$.
• D. $\Large \dfrac{2250\pi}{3}\ (cm^3)$.

Ta gọi thể tích của chiếc mũ là $\Large V$.

Thể tích của khối trụ có bán kính đáy bằng $\Large OA=10$ cm và đường cao $\Large O{O}'=5$ cm là $\Large V_1$.

Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong $\Large AB$ và hai trục tọa độ quanh trục $\Large Oy$ là $\Large V_2$.

Ta có $\Large V=V_1+V_2$.

$\Large V_1=5.10^2\pi=500\pi\ (cm^3)$.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Do parabol có đỉnh $\Large A$ nên nó có phương trình dạng $\Large (P): y=a(x-10)^2$.

Vì $\Large (P)$ qua điểm $\Large B(0; 20)$ nên $\Large a=\dfrac{1}{5}$.

Do đó, $\Large (P): y=\dfrac{1}{5}(x-10)^2$. Từ đó suy ra $\Large x=10-\sqrt{5y}$ (do $\Large x < 10$).

Suy ra $\Large V_2=\pi\int\limits_0^{20}(10-\sqrt{5y})^2\text{d}y=\pi\left(3000-\dfrac{8000}{3}\right)=\dfrac{1000}{3}\pi\ (cm^3)$.

Do đó $\Large V=V_1+V_2=\dfrac{1000}{3}\pi+500\pi=\dfrac{2500\pi}{3}\ (cm^3)$.

Chọn phương án B