Cho x, y là các số thực thỏa mãn $\large (x-2)^2+ (y-2)^2 = 12$. Khi $

Cho x, y là các số thực thỏa mãn $\large (x-2)^2+ (y-2)^2 = 12$. Khi $\large (x; y) = (x_0; y_0)$ biểu thức $\large P = \dfrac{2022(x+y) +2xy+2025}{x+y+1}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất của $\large S= 2x_0+ y_0$ là:

• A.

  $\large \sqrt{15}$. 

• B.

  $\large 1$

• C.

  $\large \dfrac{3-\sqrt{15}}{2}$

• D.

  $\large \dfrac{3+\sqrt{15}}{2}$

Chọn C

Ta có: $\large 12= (x-2)^2+ (y-2)^2\geq \dfrac{(x+y-4)^2}{2} \Rightarrow 4-\sqrt{24} \leq x+y\leq 4+ \sqrt{24}\,\, (*)$

Mặt khác: $\large 12= (x-2)^2+ (y-2)^2\Leftrightarrow x^2+y^2 - 4x-4y= 4$

Ta có: $\large P = \dfrac{2022(x+y) +2xy +2025}{x+y+1} = \dfrac{2022(x+y) +2xy+x^2+y^2-4x-4y+2021}{x+y+1}$

Suy ra: $\large P = \dfrac{(x+y)^2+ 2018(x+y) +2021}{x+y+1}$

Đặt $\large t = x+y$, từ (*) suy ra: $\large x+y+1>0 $ hay $\large t+1> 0 $

Khi đó: $\large P = \dfrac{t^2+2018t + 2021}{t+1}= t+1+ \dfrac{4}{t+1} + 2016$. Suy ra: $\large P \geq 2\sqrt{4} + 2016= 2020$

Dấu "=" xảy ra khi $\large (t+1)^2 = 4$ $\large \Leftrightarrow \left[\begin{align}& t = 1\, (tm)\\& t = -3\, (l)\\\end{align}\right. $

Khi $\large t= 1$, ta có: $\large \left\{\begin{align}& x+y = 1\\& (x-2)^2+ (y-2)^2=12\\\end{align}\right. $ $\large \Leftrightarrow \left[\begin{align}& \left\{\begin{matrix} x= \dfrac{1-\sqrt{15}}{2}\\ y = \dfrac{1+\sqrt{15}}{2}\end{matrix}\right. \,\,(1)\\& \left\{\begin{matrix} x= \dfrac{1+\sqrt{15}}{2}\\ y = \dfrac{1-\sqrt{15}}{2}\end{matrix}\right.\\\end{align}\right. \,\, (2)$ 

Với (1), ta có: $\large S= 2.\dfrac{1-\sqrt{15}}{2}+ \dfrac{1+\sqrt{15}}{2} = \dfrac{3-\sqrt{15}}{2}$

Với (2), ta có: $\large S= 2.\dfrac{1+\sqrt{15}}{2} + \dfrac{1-\sqrt{15}}{2} = \dfrac{3+\sqrt{15}}{2}$

Vậy $\large S_{\min} = \dfrac{3-\sqrt{15}}{2}$