Cho tứ giác $\large ABCD$. Gọi $\large M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm

Cho tứ giác $\large ABCD$. Gọi $\large M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $\large AB,$$\large BC,$$\large CD,$$\large DA.$ Hai đường chéo $\large AC$ và $\large BD$ phải thỏa mãn điều kiện gì để $\large M,N,P,Q$ là bốn đỉnh của hình vuông.

• A. $\large BD=AC$
• B. $\large BD\bot AC$
• C. $\large BD$ tạo với $\large AC$ góc $\large {{60}^{0}}$
• D. $\large BD=AC;BD\bot AC$

Xét tam giác $\large ABD$ có:

$\large M$là trung điểm của $\large AB$ (gt)

$\large Q$ là trung điểm của $\large AD$ (gt)

$\large \Rightarrow QM$ là đường trung bình của tam giác $\large ABD$.

$\large \Rightarrow QM//BD;QM=\dfrac{1}{2}BD\text{ }\left( 1 \right)$

Tương tự ta có $\large NP$ là đường trung bình của tam giác $\large BCD$

$\large \Rightarrow NP//BD;NP=\dfrac{1}{2}BD\text{ }(2)$

Từ $\large (1);(2)\Rightarrow MNPQ$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Tương tự ta cũng có $\large MN$ là đường trung bình của tam giác $\large BAC$ nên $\large MN//AC;MN=\dfrac{1}{2}AC$

Để hình bình hành $\large MNPQ$ là hình vuông $\large \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & MN\bot NP \\  & MN=NP \\ \end{align} \right.$

+ Để $\large MN\bot NP\Leftrightarrow AC\bot BD$ (vì $\large MN//AC;NP//BD$)

+ Để $\large MN=NP\Leftrightarrow AC=BD$ (vì $\large MN=\dfrac{1}{2}AC,NP=\dfrac{1}{2}BD$)

Vậy điều kiện cần tìm để $\large MNPQ$ là hình vuông là $\large BD=AC;BD\bot AC$