Cho tam giác $\large ABC,$ điểm $\large I$ nằm trong tam giác. Các tia

Cho tam giác $\large ABC,$ điểm $\large I$ nằm trong tam giác. Các tia $\large AI,BI,CI$ cắt các cạnh $\large BC,AC,AB$ theo thứ tự ở $\large D,E,F$. Tổng $\large \dfrac{AF}{FB}+\dfrac{AE}{EC}$ bằng tỉ số nào dưới đây?

• A.  $\large \dfrac{AI}{AD}$
• B. $\large \dfrac{AI}{ID}$
• C.  $\large \dfrac{BD}{DC}$
• D.  $\large \dfrac{DC}{DB}$

Qua $\large A$ kẻ đường thẳng song song với $\large BC$, cắt $\large CF,BE$ lần lượt tại $\large H,K$.

 $\large AH//BC$ nên theo định lí Talet ta có: $\large \dfrac{AF}{FB}=\dfrac{AH}{BC}$

 $\large AK//BC$ nên theo định lí Talet ta có: $\large \dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AK}{BC}$

Suy ra $\large \dfrac{AF}{FB}+\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AH}{BC}+\dfrac{AK}{BC}=\dfrac{HK}{CB}$ hay  $\large \dfrac{AF}{FB}+\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{HK}{CB}\text{ }\left( 1 \right)$

Lại có:

 $\large AH//DC$ nên theo định lí Talet ta có: $\large \dfrac{AI}{ID}=\dfrac{AH}{DC}$

 $\large AK//BD$ nên theo định lí Talet ta có: $\large \dfrac{AI}{ID}=\dfrac{AK}{BD}$

Do đó: $\large \dfrac{AI}{ID}=\dfrac{AH}{DC}=\dfrac{AK}{BD}\left( 2 \right)$

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

 $\large \dfrac{AH}{DC}=\dfrac{AK}{BD}=\dfrac{AH+AK}{DC+BD}=\dfrac{HK}{BC}\left( 3 \right)$

Từ $\large \left( 2 \right)$ và $\large \left( 3 \right)$ suy ra: $\large \dfrac{AI}{ID}=\dfrac{HK}{BC}\left( 4 \right)$

Từ $\large \left( 1 \right)$ và $\large \left( 4 \right)$ suy ra: $\large \dfrac{AF}{FB}+\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AI}{ID}$