Cho tứ diện S.ABC có các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc và $\large

Cho tứ diện S.ABC có các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc và $\large SA= SB= SC= 1$. Tính $\large \cos\alpha$, trong đó $\large \alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)?

• A.

  $\large \cos\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

• B.

  $\large \cos\alpha = \dfrac{1}{2\sqrt{3}}$

• C.

  $\large \cos\alpha = \dfrac{1}{3\sqrt{2}}$

• D.

  $\large \cos\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Chọn D

Gọi D là trung điểm cạnh BC
Ta có: $\large \left\{\begin{align}& SA\perp SB\\& SA\perp SC\\\end{align}\right.$ $\large \Rightarrow  SA\perp (SBC)\Rightarrow  SA\perp BC$
Mà $\large SD\perp BC$ nên $\large BC\perp (SAD)$
$\large \Rightarrow  \widehat{((SBC),(ABC))}= \widehat{SDA)}= \alpha $
Khi đó tam giác SAD vuông tại S có $\large SD= \dfrac{1}{\sqrt{2}};\, AD= \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ và $\large \cos\alpha = \dfrac{SD}{AD}$
$\large \Leftrightarrow \cos\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$