Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Cạnh bên

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Cạnh bên $\large SA= \dfrac{a\sqrt{15}}{2}$ và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (SBC)

• A. $\large d=\dfrac{a\sqrt{285}}{19}$
• B. $\large d=\dfrac{\sqrt{285}}{38}$
• C. $\large d=\dfrac{a\sqrt{285}}{38}$
• D. $\large d=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

Chọn C

Ta có: $\large OA\cap (SBC)=C\Rightarrow  \dfrac{d(O; (SBC))}{d(A; (SBC))}= \dfrac{OC}{AC}= \dfrac{1}{2}$ 
Do đó: $\large d(O; (SBC))= \dfrac{1}{2}d(A; (SBC))$ 
Gọi K là hình chiếu của A trên $\large SB\Rightarrow  AK\perp SB$  (1)
Ta có: $\large \left\{\begin{align}& BC\perp SA\\& BC\perp AB\\\end{align}\right. $ $\large \Rightarrow  BC\perp (SAB)\Rightarrow  BC\perp AK$  (2)
Từ (1) và (2) $\large \Rightarrow  AK\perp (SBC)\Rightarrow  d(A; (SBC))= AK$ 
Tam giác vuông SAB, có $\large AK= \dfrac{SA.AB}{\sqrt{SA^2+AB^2}}=\dfrac{a\sqrt{285}}{19}$ 
Vậy $\large d(O; (SBC))= \dfrac{1}{2}AK= \dfrac{a\sqrt{285}}{38}$