Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh A, góc $\lar

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh A, góc $\large \widehat{BAD}= 60^\circ$, $\large SA=SB= SD= \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. Gọi $\large \varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Mệnh đề nào sau đây đúng?

• A. $\large \tan \varphi = \sqrt{5}$
• B. $\large \tan \varphi = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$
• C. $\large \tan \varphi = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
• D. $\large \varphi = 45^\circ$

Chọn A

Từ giả thiết suy ra tam giác ABD đều cạnh a
Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD)
Do $\large SA=SB=SD$ nên suy ra H là tâm của tam giác đều ABD
Suy ra: $\large AH= \dfrac{2}{3}.AI= \dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}= \dfrac{a\sqrt{3}}{3},\, HI= \dfrac{1}{3}.AI= \dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}= \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$
Và $\large SH= \sqrt{SA^2-AH^2}= \dfrac{a\sqrt{15}}{6}$
Vì ABCD là hình thoi nên $\large HI\perp BD$. Tam giác SBD cân tại S nên $\large SI\perp BD$. Do đó: $\large ((SBD), (ABCD))= (SI, AI)= \widehat{SIH}$
Trong tan giác vuông SHI, có $\large \tan\widehat{SIH}= \dfrac{SH}{HI}= \sqrt{5}$