Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với $\large AC=\dfrac{a

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với $\large AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với đáy góc $\large 60^\circ $. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AD và SC

• A. $\large d= \dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
• B. $\large d=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
• C. $\large d=\dfrac{a}{2}$
• D. $\large d= \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Chọn A

Ta có: $\large SA\perp (ABCD)\Rightarrow  (AB,(ABCD))= (SB; AB)= \widehat{SBA}= 60^\circ $
Tam giác ABC vuông cân tại B nên $\large AB=BC= \dfrac{AC}{\sqrt{2}}= \dfrac{a}{2}$
Xét tam giác vuông SAB có $\large SA=AB.\tan 60^\circ = \dfrac{a}{2}.\sqrt{3}= \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Ta có: $\large d(AD; SC) = d(AD, (SBC))=d(A, (SBC)) $
Kẻ $\large AK\perp SB$
Do $\large \left\{\begin{align}& BC\perp SA\\& BC\perp AB\\\end{align}\right. $ $\large \Rightarrow   BC\perp (SAB)\Rightarrow  BC\perp AK$ mà $\large AK\perp SB$ nên $\large AK\perp (SBC)$
Khi đó: 
$\large d(A; (SBC))= AK= \dfrac{SA.AB}{\sqrt{SA^2+AB^2}}= \dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{a}{2}}{\sqrt{\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$