Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, các cạnh $\large

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, các cạnh $\large SA=SB=a$, $\large SD= a\sqrt{2}$. Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng $\large 90^\circ $. Độ dài đoạn thẳng BD bằng?

• A. $\large 2a$
• B. $\large 2a\sqrt{3}$
• C. $\large a\sqrt{3}$
• D. $\large a\sqrt{2}$

Chọn C

Gọi I là tâm của hình thoi ABCD
Và H là hình chiếu vuông góc của S lên BD
$\large \widehat{(SBD),(ABCD))}= 90^\circ\Rightarrow  (SBD)\perp (ABCD)\Rightarrow SH\perp (ABCD)$ 
Khi đó: $\large \left\{\begin{align}& SH\perp AC\\& BD\perp AC\\\end{align}\right. $ $\large \Rightarrow  AC\perp (SBD)\Rightarrow  AC\perp SI$
Mà I là trung điểm của AC $\large \Rightarrow  \Delta SAC$ cân tại S $\large \Rightarrow  SA=SB=SC=BC= a$
$\large \Delta SAC=\Delta BAC\, (c-c-c)\Rightarrow  BI= SI= \dfrac{1}{2}BD\Rightarrow  \Delta SBD$ vuông tại S
$\large \Rightarrow  BD^2= SB^2+SD^2=a^2+(a\sqrt{2})^2= 3a^2\Rightarrow  BD= a\sqrt{3}$