Cho tam giác $\large OAB$ đều cạnh $\large a$. Trên đường thẳng $\larg

Cho tam giác $\large OAB$ đều cạnh $\large a$. Trên đường thẳng $\large d$ qua $\large O$ và vuông góc với mặt phẳng $\large (OAB)$ lấy điểm $\large M$ sao cho $\large OM=x$. Gọi $\large E, F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $\large A$ trên $\large MB$ và $\large OB$. Gọi $\large N$ là giao điểm của $\large EF$ và $\large d$. Tìm $\large x$ để thể tích tứ diện $\large ABMN$ có giá trị nhỏ nhất.

• A.

  A. $\large x=a\sqrt{2}$

• B.

  B. $\large x=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

• C.

  C. $\large x=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

• D.

  D. $\large x=\frac{a\sqrt{6}}{12}$

Đặt $\large ON=y> 0$. Khi đó:

$\large V_{ABMN}=V_{ABOM}+V_{ABON}=\frac{1}{3}S_{\bigtriangleup OAB}(OM+ON)=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}(x+y)$

Ta có $\large\left\{\begin{align}AF\perp OB\\AF\perp MO\end{align}\Rightarrow A F \perp(MOB) \right.$ $\large\Rightarrow AF\perp MB$

Lại có $\large MB\perp AE$ nên suy ra $\large MB \perp(AEF)\Rightarrow MB\perp EF$

Suy ra $\large\bigtriangleup OBM$ đồng dạng $\large\bigtriangleup ONF$ nên $\large\frac{OB}{OM}=\frac{ON}{OF} \longrightarrow ON=\frac{OB \cdot OF}{OM}=\frac{a^{2}}{2x}$

Suy ra $\large V_{ABMN}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{12}\left ( x+\frac{a^{2}}{2x} \right )\geq \frac{a^{3}\sqrt{6}}{12}$

Dấu "=" xảy ra $\large\Leftrightarrow x=\frac{a^{2}}{2x}\Rightarrow x=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Đáp án  B