Cho tam giác $\large ABC$. Gọi $\large D,E,F$ theo thứ tự là trung điể

Cho tam giác $\large ABC$. Gọi $\large D,E,F$ theo thứ tự là trung điểm của $\large AB,BC,CA.$ Gọi $\large M,N,P,Q$ theo thứ tự là trung điểm của $\large AD,$ $\large AF,$ $\large EF,$ $\large ED.$

$\large \Delta ABC$ có điều kiện gì thì $\large MNPQ$ là hình chữ nhật?

• A. $\large \Delta ABC$ cân tại $\large A$
• B. $\large \Delta ABC$ cân tại $\large B$
• C. $\large \Delta ABC$ cân tại $\large C$
• D. $\large \Delta ABC$ vuông tại $\large A$

Xét $\large \Delta ADE$ có: $\large AM=DM;DQ=EQ$ nên $\large MQ$ là đường trung  bình của $\large \Delta ADE$

$\large \Rightarrow MQ//AE;MQ=\dfrac{1}{2}AE$

Xét $\large \Delta AEF$ có $\large AN=NF;FP=PE$ (giả thiết) nên $\large NP$ là đường trung bình của $\large \Delta AFE$.

$\large \Rightarrow NP//AE;NP=\dfrac{1}{2}AE$

Suy ra $\large MQ//NP$  $\large \left( //AE \right)$ và $\large MQ=NP\left( =\dfrac{1}{2}AE \right)$

Tứ giác $\large MNPQ$ là hình chữ nhật thì $\large MN\bot NP\left( 1 \right)$

Ta có: $\large NP//AE$ (chứng minh trên) (2)

Ta lại có: $\large AM=MD,AN=NF$ (giả thiết)$\large \Rightarrow MN$ là đường trung bình của tam giác $\large ADF$$\large \Rightarrow MN//DF$

Lại có $\large DF$ là đường trung bình của tam giác $\large ABC$$\Rightarrow DF//BC$

Vậy $\large MN//BC\left( 3 \right)$

Từ $\large \left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)$ suy ra $\large AE\bot BC$.

Mà $\large BE=EC$ (giả thiết)

Do đó $\large \Delta ABC$ cân tại $\large A$ (do $\large AE$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến)