Cho tam giác $\large ABC$ có $\large AM$ là đường trung tuyến, $\large

Cho tam giác $\large ABC$ có $\large AM$ là đường trung tuyến, $\large N$ là điểm trên đoạn thẳng $\large AM$. Gọi $\large D$ là giao điểm của $\large CN$ và $\large AB$, $\large E$ là giao điểm của $\large BN$ và $\large AC$. Chọn khẳng định đúng nhất.

• A.

  $\large DE//BC$

• B.

  $\large \dfrac{AB}{BD}=\dfrac{AE}{CE}$

• C.

  Cả A, B đều đúng

• D.

  Cả A, B đều sai

Kẻ đường thẳng đi qua $\large A$ song song với $\large BC$ lần lượt cắt $\large CD$ và $\large BE$ kéo dài tại $\large B'$ và $\large C'$.

Vì $\large M$ là trung điểm của $\large BC$ nên $\large BM=MC$

Vì $\large AB'//MC$, áp dụng định lý Talet ta có :

 $\large \dfrac{AN}{NM}=\dfrac{AB'}{MC}\left( 1 \right)$

Vì $\large AC'//BM$, áp dụng định lý Talet ta có :

 $\large \dfrac{AN}{NM}=\dfrac{AC'}{BM}\left( 2 \right)$

Từ (1) và  (2) ta có : $\large \dfrac{AB'}{MC}=\dfrac{AC'}{BM}$

Ta có : $\large M$ là trung điểm của $\large BC$

 $\large \Rightarrow BM=MC\Rightarrow AB'=AC'\text{ }\left( * \right)$

Vì $\large AB'//BC$, áp dụng định lý Talet ta có :

 $\large \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AB'}{BC}\text{ }\left( ** \right)$

Vì $\large AC'//BC$, áp dụng định lý Talet ta có :

 $\large \dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AC'}{BC}\text{ }\left( *** \right)$

Từ (*), (**) và (***) ta có :

 $\large \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AB'}{BC}=\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AC}{BC}$

 $\large \Rightarrow \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$

Hay $\large DE//BC$