Cho tứ giác $\large ABCD$ có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi $\

Cho tứ giác $\large ABCD$ có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi $\large E,$$\large F,$$\large G,$$\large H$ lần lượt là trung điểm các cạnh $\large AB,$$\large BC,$$\large CD,$$\large DA.$ Biết diện tích của tứ giác $\large ABCD$ là $\large 40c{{m}^{2}}$ thì diện tích của tứ giác $\large EFGH$ là:

• A.

  $\large 30{{m}^{2}}$

• B.

  $\large 25{{m}^{2}}$

• C.

  $\large 40c{{m}^{2}}$

• D.

  $\large 20c{{m}^{2}}$

Vì $\large E,F,G,H$ lần lượt là trung điểm các cạnh $\large AB,$$\large BC,$$\large CD,$$\large DA$ nên $\large EF,FG,GH,HE$ lần lượt là đường trung bình của các tam giác $\large ABC,$$\large BCD,$$\large ADC,$$\large ADB$ nên $\large EF//HG$ (vì cùng song song với $\large AC$); $\large HE//FG$ (vì cùng song song với $\large BD$)

Suy ra tứ giác $\large EFGH$ là hình bình hành, mà $\large AC\bot BD\left( gt \right)\Rightarrow EFGH$là hình chữ nhật.

Do đó $\large {{S}_{EFGH}}=HE.EF$, mà $\large EF=\dfrac{1}{2}AC;HE=\dfrac{1}{2}BD$ (tính chất đường trung bình)

Nên $\large {{S}_{EFGH}}=\dfrac{1}{2}AC.\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{4}AC.BD$

Gọi $\large O$ là giao của $\large AC$ và $\large BD$

Khi đó:

$\large \begin{align}   {{S}_{ABCD}}&={{S}_{ABC}}+{{S}_{ACD}} \\  & =\dfrac{1}{2}BO.AC+\dfrac{1}{2}DO.AC \\  &=\dfrac{1}{2}AC\left( BO+DO \right) \\  & =\dfrac{1}{2}AC.BD \\ \end{align}$

Mà

 $\large \begin{align}   {{S}_{ABCD}}&=40{{m}^{2}} \\  & \Rightarrow \dfrac{1}{2}AC.BD=40{{m}^{2}} \\  & \Rightarrow AC.BD=80{{m}^{2}} \\ \end{align}$

Suy ra $\large {{S}_{EFGH}}=\dfrac{1}{4}AC.BD=\dfrac{1}{4}.80=20{{m}^{2}}$