Cho phương trình $\large \log_2^2(x^2+4)-(2m+1)\log_2(x^2+4)+4=0$ (m l

Cho phương trình $\large \log_2^2(x^2+4)-(2m+1)\log_2(x^2+4)+4=0$ (m là tham số). Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt.

• A.

  $\large m\in (1; 2)$

• B.

  Vô số m .

• C.

  $\large m\in (2; 3)$

• D.

  Không tồn tại m .

Xét phương trình $\large \log_2^2 (x^2+4)-(2m+1)\log_2 (x^2+4)+4=0 $ (1)

Tập xác định: $\large D=\mathbb{R}$

Đặt $\large t=\log_2 (x^2+4), t\geq 2$ phương trình (1) trở thành: $\large t^2-(2m+1)t+4=0$ (2)

Với mỗi t > 2 ta có: $\large t=\log_2(x^2+4)\Leftrightarrow x^2+4=2^t\Leftrightarrow x^2=2^t-4\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2^t-4}$

Với t = 2 ta có x = 0 .
Do đó, phương trình (1) có đúng ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt $\large t_1; t_2$ thỏa mãn $\large t_1=2; t_2>2$

Thay $\large t_1=2$ vào phương trình (2) ta được: $\large 2^2-(2m+1).2+4=0\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{2}$

Thử lại: với $\large m=\dfrac{3}{2}$, phương trình (2) trở thành: $\large t^2-4t+4=0$ (không thỏa mãn).

Vậy không có giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.