Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 7 chữ số. Lấy ngẫu nhiên mộ

Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 7 chữ số. Lấy ngẫu nhiên một số từ tập S . Xác suất để số lấy được có tận cùng là 3 và chia hết cho 7 ( làm tròn đến chữ số hàng nghìn) có dạng $\large \overline{0,abc}$ . Tính $\large a^2+b^2+c^2$

• A. 15
• B. 10
• C. 17
• D. 16

Cách 1:
Số phần tử của không gian mẫu là: $\large n(\Omega)=9.10^6$

Gọi A là biến cố: “Số lấy được có tận cùng là 3 và chia hết cho 7”.
Gọi số tự nhiên có 7 chữ số chia hết cho 7 và có chữ số tận cùng bằng 3 là: $\large \overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_63}$. Ta có:

$\large \overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_63}=10.\overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6}+3=(3.\overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6}+7.\overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6}+3)\vdots 7$

$\large \Rightarrow (3. \overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6}+3)\vdots 7$

Đặt: $\large 3.\overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6}+3=7k, (k\in\mathbb{Z})\Rightarrow \overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6}=2k-1+\dfrac{k}{3}$ là số nguyên nên $\large k=3m, (m\in\mathbb{Z})$. Khi đó $\large \overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6}=7m-1$

Do đó: $\large 100000\leq 7m-1\leq 999999\Leftrightarrow \dfrac{100001}{7}\leq m\leq\dfrac{1000000}{7}$

Do: $\large m\in\mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{14286;14287;...;142857\right\}$ hay có 128572 giá trị của m , tức là có 128572 số tự nhiên có 7 chữ số chia hết cho 7 và có chữ số tận cùng bằng 3.

Suy ra: $\large n(A)=128572$

Xác suất của biến cố A là: $\large P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{128572}{9.10^6}\approx 0,014$ 

Suy ra: $\large a=0; b=1; c=4\Rightarrow a^2+b^2+c^2=17$

Cách 2:

Số phần tử của không gian mẫu là: $\Large n(\Omega)=9.10^6$

Gọi A là biến cố: "Số lấy được có tận cùng là 3 và chia hết cho 7".

Gọi X là số tự nhiên có 7 chữ số chia hết cho 7 và chữ số tận cùng bằng 3, suy ra: $\Large X=7.\overline{Y9}$ (với $\Large \overline{Y9}$ là số có chữ số tận cùng bằng 9).

Ta có:

$\Large 1000000\leq X \leq 9999999\Leftrightarrow 142858 \leq \overline{Y9}\leq 1428571 \Leftrightarrow 142858 \leq 10Y+9\leq 1428571$$\Large \Leftrightarrow 14285 \leq Y\leq 142856$

Do đó ta có: 142856-14285+1=128572 số tự nhiên có 7 chữ số chia hết cho 7 và có chữ số tận cùng bằng 3. Suy ra n(A)=128572.

Xác suất của biến cố A là: $\Large P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{128572}{9.10^6}\approx 0,014$.

Suy ra: a=0;b=1;c=4

Vậy $\Large a^2+b^2+c^2=17$