Đường thẳng y = x+1 cắt đồ thị hàm số $\large y=\dfrac{x-1}{x-2}$ tại

Đường thẳng y = x+1 cắt đồ thị hàm số $\large y=\dfrac{x-1}{x-2}$ tại hai điểm phân biệt A, B. Tính AB?

• A.

  $\large AB=8$

• B.

  $\large AB =4$

• C.

  $\large AB=2\sqrt{2}$

• D.

  $\large AB=\sqrt{6}$

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y = x+1 và đồ thị hàm số $\large y=\dfrac{x-1}{x-2}$

$\large x+1=\dfrac{x-1}{x-2}, (x\neq 2)\Leftrightarrow (x+1)(x-2)=x-1, (x\neq 2)\Leftrightarrow x^2-2x-1=0, (x\neq 2) (*)$

Cách 1:

(*) $\large \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}
x=1-\sqrt{2}\\ 
x=1+\sqrt{2}
\end{matrix}\right.$

Khi đó tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: $\large A(1-\sqrt{2}; 2-\sqrt{2}); B(1+\sqrt{2}; 2+\sqrt{2})$

Độ dài $\large AB=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=4$

Cách 2:
Ta có: $\large \Delta =2^2+4=8>0$

Gọi $\large x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình (*).

Khi đó: $\large A(x_1; x_1+1); B(x_2; x_2+1), \overrightarrow{AB}=(x_2-x_1; x_2-x_1)$

$\large AB=\sqrt{2(x_2-x_1)^2}=\sqrt{2}.|x_2-x_1|=\sqrt{2}.\dfrac{\Delta}{|a|}=\sqrt{2}.\sqrt{8}=4$

Cách 3: Dùng Viet $\large \left\{\begin{matrix}
x_1+x_2=2\\ 
x_1.x_2=-1
\end{matrix}\right.$

Độ dài đoạn AB là:

$\large AB=\sqrt{2(x_1-x_2)^2}=\sqrt{2[(x_1+x_2)^2-4x_1x_2]}=\sqrt{2[2^2-4(-1)]}=4$

Vậy AB = 4 .