Cho hàm số $\large y=f(x)=m^2(\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x})+2\sqrt{16-x^2}+3m

Cho hàm số $\large y=f(x)=m^2(\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x})+2\sqrt{16-x^2}+3m-2$. Tổng các giá trị của tham số m để hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 13 là

• A. $\large -\dfrac{7}{4}$
• B. $\large -\dfrac{3}{4}$
• C. $\large -\dfrac{4}{7}$
• D. $\large 1$

Cách 1:

$\large y=f(x)=m^2(\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x})+2\sqrt{16-x^2}+3m-2$

Điều kiện xác định $\large x\in [-4; 4]$

+) Nhận xét với $\large \forall x\in [-4; 4]$ ta có $\large 0<(\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x})^2\leq 2(4+x+4-x)$

$\large \Rightarrow 0<\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x}\leq 4, \forall x\in [-4; 4]$ dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0

+) Mặt khác: $\large 0<\sqrt{16-x^2}\leq 4, \forall x\in [-4; 4]$ và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0 .

+) Từ đó, $\large f(x)=m^2(\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x})+2\sqrt{16-x^2}+3m-2\leq 4m^2+8+3m-2 \forall x\in [-4; 4]$ 

$\large \Rightarrow \underset{x\in[-4; 4]}{max}f(x)=f(0)=4m^2+3m+6$

Theo giả thiết ta có: $\large 4m^2+3m+6=13\Leftrightarrow 4m^2+3m-7=0$. Dễ thấy phương trình này luôn có hai nghiệm phân biệt và tổng hai nghiệm là $\large -\dfrac{3}{4}$

Vậy tổng các giá trị của tham số m cần tìm là $\large -\dfrac{3}{4}$

Cách 2:
Xét hàm số $\large y=f(x)=m^2(\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x})+2\sqrt{16-x^2}+3m-2$ có tập xác định $\large D=[-4; 4]$

Đặt $\large t=\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x}, \forall x\in (-4; 4)$ suy ra $\large 2\sqrt{2}\leq t\leq 4$ và $\large 2\sqrt{16-x^2}=t^2-8$     

Khi đó: $\large y=g(t)=t^2+m^2t+3m-10, \forall t\in [2\sqrt{2}; 4]$

Ta có: $\large g'(t)=2t+m^2>0, \forall t\in [2\sqrt{2}; 4]\Rightarrow g(t)$ đồng biến trên đoạn $\large [2\sqrt{2}; 4]$ 

$\large \underset{[-4; 4]}{\max} f(x)=\underset{[2\sqrt{2}; 4]}{\max} g(t)=g(4)=4m^2+3m+6$

Theo giả thiết ta có $\large 4m^2+3m+6=13\Leftrightarrow 4m^2+3m-7=0$. Dễ thấy phương trình này luôn có hai nghiệm phân biệt và tổng hai nghiệm là $\large -\dfrac{3}{4}$