MỤC LỤC
Cho một hình cầu nội tiếp hình nón tròn xoay có góc ở đỉnh là 2α, bán kính đáy là R và chiều cao là h. Một hình trụ ngoại tiếp hình cầu đó có đáy dưới nằm trong mặt phẳng đáy của hình nón (tham khảo hình vẽ). Gọi V1,V2 lần lượt là thể tích của hình nón và hình trụ biết rằng V1≠V2. Gọi M là giá trị lớn nhất của tỉ số V2V1. Giá trị của biểu thức P = 48M + 25 thuộc khoảng nào dưới đây?
Lời giải chi tiết:
Chọn B
Gọi r là bán kính hình cầu, khi đó r cũng là bán kính đường tròn đáy của hình trụ đã cho, chiều cao của hình trụ bằng 2r.
{V1=13πR2hV2=πr2.2r⇒V2V1=6r3R2h
Xét mặt cắt qua trục của hình nón là 1 tam giác cân ABC có diện tích là S=12h.2R=Rh
Tam giác cân có chiều dài cạnh bên AB=AC=Rsinα
Mặt khác áp dụng công thức S = pr với p là nửa chu vi tam giác,r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác (cũng là bán kính mặt cầu đã cho).
Ta có:
p=12(2R+2Rsinα)⇒S=Rh=(R+Rsinα)r⇔r=h.sinαsinα+1
Khi đó V2V1=6h3sin3αR2h(sinα+1)3=6sin3α(sinα+1)3.(hR)2
=6sin3α(sinα+1)3.cot2α=6sinα(1−sin2α)(sinα+1)3=6sinα(1−sinα)(sinα+1)2
Xét hàm số y=6sinα(1−sinα)(sinα+1)2
Đặt t=sinα,t∈(0;1) ta có y=6t(1−t)(t+1)2,t∈(0;1).
Ta có y′=−6(3t−1)(t+1)3;y′=0⇒t=13
Bảng biến thiên:
Suy ra M=34. Vậy P = 48M+25 = 48.\dfrac{3}{4}+25 = 61$
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới