Cho khối nón có độ lớn góc ở đỉnh là $\large \dfrac{\pi }{3}$. Một khố

Cho khối nón có độ lớn góc ở đỉnh là $\large \dfrac{\pi }{3}$. Một khối cầu $\large (S_{1})$ nội tiếp trong hình nón. Gọi $\large S_{2}$ là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với $\large S_{1}; S_{3}$ là khối tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón với $\large S_{1};....; S_{n}$ là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với $\large S_{n-1}$. Gọi $\large V_{1},V_{2},V_{3},...,V_{n-1},V_{n}$ lần lượt là thể tích của khối cầu $\large S_{1},S_{2},S_{3},...,S_{n-1},S_{n}$ và V là thể tích của khối nón. Tính giá trị của biểu thức $\large T = lim \dfrac{V_{1}+V_{2}+...+V_{n}}{V}$.

 

• A. A. $\large \dfrac{3}{5}$
• B. B. $\large \dfrac{6}{13}$
• C. C. $\large \dfrac{7}{9}$
• D. D. $\large \dfrac{1}{2}$

Chọn B

Thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác đều cạnh l.

Do đó bán kính đường tròn nội tiếp tam giác cũng chính là bán kính mặt cầu nội tiếp chóp là $\large r_{1} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{l\sqrt{3}}{2} = \dfrac{l\sqrt{3}}{6}$ 

Áp dụng định lý Ta-lét ta được:

$\large \dfrac{AA'}{AB} = \dfrac{AH'}{AH} = \dfrac{AH-HH'}{AH} = \dfrac{\dfrac{l\sqrt{3}}{2}-\dfrac{l\sqrt{3}}{3}}{\dfrac{l\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{1}{3}$ 

$\large \Rightarrow AA' = \dfrac{l}{3}$.

Tương tự ta tìm được:

$\large r_{2} = \dfrac{l}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{6} = \dfrac{l\sqrt{3}}{18} = \dfrac{r_{1}}{3}; r_{3} = \dfrac{r_{1}}{3^{2}}, r_{4} = \dfrac{r_{1}}{3^{3}},....,r_{n} = \dfrac{r_{1}}{3^{n-1}}$ 

$\large V_{1} = \dfrac{4}{3}\pi r_{1}^{3},V_{2} = \dfrac{4}{3}\pi r_{2}^{3} = \dfrac{4}{3}\pi \left (\dfrac{r_{1}}{3}  \right )^{3} = \dfrac{1}{3^{3}}V_{1}$,

$\large V_{3} = \dfrac{1}{(3^{3})^{2}}V_{1},...,V_{n} = \dfrac{1}{(3^{3})^{n-1}}V_{1}$ 

Khi đó:

$\large T = lim \dfrac{V_{1}+V_{2}+...+V_{n}}{V} = lim \dfrac{V_{1}\left (1+\dfrac{1}{3^{3}}+\dfrac{1}{(3^{3})^{2}}+...+\dfrac{1}{(3^{3})^{n-1}}  \right )}{V} = lim \dfrac{V_{1}.S}{V}$ 

Đặt $\large S = 1+\dfrac{1}{3^{3}}+\dfrac{1}{(3^{3})^{2}}+...+\dfrac{1}{(3^{3})^{n-1}}$.

Đây là tổng CSN lùi vô hạn với công bội 

$\large q = \dfrac{1}{3^{3}} < 1 \Rightarrow lim S = \dfrac{1}{1-\dfrac{1}{3^{3}}} = \dfrac{27}{26}$ 

$\large V_{1}+V_{2}+...+V_{n} = \dfrac{27}{26}.V_{1} = \dfrac{27}{26}.\dfrac{4}{3}\pi \left (\dfrac{l\sqrt{3}}{6}  \right )^{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{52}\pi l^{3}$ 

$\large V = \dfrac{1}{3}\pi r^{2}h = \dfrac{1}{3}\pi \left (\dfrac{1}{2}  \right )^{2}.\dfrac{l\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}\pi l^{3}}{24}\Rightarrow T = \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{52}\pi l^{3}}{\dfrac{\sqrt{3}\pi l^{3}}{24}} = \dfrac{6}{13}$