Cho một cấp số cộng $\Large (u_n)$ có $\Large u_1=1$ và tổng 100 số hạ

Cho một cấp số cộng $\Large (u_n)$ có $\Large u_1=1$ và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850. Tính $\Large S =\dfrac{1}{u_1u_2}+\dfrac{1}{u_2u_3}+...+\dfrac{1}{u_{49}u_{50}}$

• A.

  $\Large S=\dfrac{9}{246}$

• B.

  $\Large S=\dfrac{4}{23}$

• C.

  $\Large S=123$

• D.

  $\Large S=\dfrac{49}{246}$

Chọn D.

Gọi $\Large d$ là công sai của cấp số cộng đã cho

Ta có: $\Large S_{100} = 50(2u_1+99d)=24850\Rightarrow d =\dfrac{497-2u_1}{99} = 5$

$\Large \Rightarrow 5S=\dfrac{5}{u_1u_2}+\dfrac{5}{u_2u_3}+...+\dfrac{5}{u_{20}u_{50}}$

$\Large =\dfrac{u_2-u_1}{u_1u_2}+\dfrac{u_3-u_2}{u_2u_3}+...+\dfrac{u_{50}-u_{49}}{u_{49}u_{50}}$

$\Large =\dfrac{1}{u_1}-\dfrac{1}{u_2}+\dfrac{1}{u_2}-\dfrac{1}{u_3}+...+\dfrac{1}{u_{48}}-\dfrac{1}{u_{49}}+\dfrac{1}{u_{49}}-\dfrac{1}{u_{50}}$

$\Large =\dfrac{1}{u_1}-\dfrac{1}{u_{50}}=\dfrac{1}{u_1}-\dfrac{1}{u_1+49d}=\dfrac{245}{246}$

$\Large \Rightarrow S=\dfrac{49}{246}$.