Cho $\Large {{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là các số phức thỏa mãn $\Large \left

Cho $\Large {{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là các số phức thỏa mãn $\Large \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=1$ và $\Large \left| {{z}_{1}}-2{{z}_{2}} \right|=\sqrt{6}$. Tính giá trị của biểu thức $\Large P=\left| 2{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|$.

• A. $\Large P=2.$
• B. $\Large P=\sqrt{3}.$
• C. $\Large P=3.$
• D. $\Large P=1.$

CÁCH 1:

Chọn $\Large {{z}_{1}}=1$.

Ta có hệ phương trình:

$\Large \left\{ \begin{matrix}& \left| {{z}_{2}} \right|=1 \\ & \left| 1-2{{z}_{2}} \right|=\sqrt{6} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1 \\ & {{\left( 1-2x \right)}^{2}}+4{{y}^{2}}=6 \\ \end{matrix} \right.$$\Large \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1 \\ & 4{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}-4x=5 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}& x=-\dfrac{1}{4} \\ & y=\pm \dfrac{\sqrt{15}}{4} \\ \end{matrix} \right.$

TH1: $\Large \Large {{z}_{2}}=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{\sqrt{15}}{4}i$

$\Large P=\left| 2.1-\dfrac{1}{4}+\dfrac{\sqrt{15}}{4}i \right|=\dfrac{\sqrt{{{7}^{2}}+15}}{4}=2$

TH2: $\Large \Large {{z}_{2}}=-\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{15}}{4}i$

$\Large P=\left| 2.1-\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{15}}{4}i \right|=\dfrac{\sqrt{{{7}^{2}}+15}}{4}=2$

CÁCH 2:

$\Large \left| {{z}_{1}}-2{{z}_{2}} \right|=\sqrt{6}\Leftrightarrow {{\left| {{z}_{1}}-2{{z}_{2}} \right|}^{2}}=6$$\Large \Leftrightarrow {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+4{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}-4\left| {{z}_{1}} \right|\left| {{z}_{2}} \right|.c\text{os}\left( {{z}_{1}},{{z}_{2}} \right)=6$

$\Large \Leftrightarrow c\text{os}\left( {{z}_{1}},{{z}_{2}} \right)=-\dfrac{1}{4}$

$\Large {{P}^{2}}={{\left| 2{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}=4{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}+4\left| {{z}_{1}} \right|\left| {{z}_{2}} \right|.c\text{os}\left( {{z}_{1}},{{z}_{2}} \right)$$\Large =4+1+4\left( -\dfrac{1}{4} \right)=4$

Vậy $\Large P=2$.