MỤC LỤC
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh BC=a√6. Góc giữa mặt phẳng (AB′C) và mặt phẳng (BCC′B′) bằng 60∘ . Tính thể tích V của khối đa diện AB′CA′C′.
Lời giải chi tiết:
Khối đa diện AB′CA′C′ là hình chóp B′.ACC′A′ có
$\Large{A}'{B}' \perp \left( AC{C}'{A}' \right)$.
Từ giả thiết tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh BC=a√6 ta suy ra AB=AC=a√3.
Gọi M là trung điểm của BC, suy ra AM⊥BC và AM=a√62.
Ta có {AM⊥BCAM⊥BB′⇒AM⊥(BCC′B′)⇒AM⊥B′C (1).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên B′C, suy ra MH⊥B′C (2).
Từ (1) và (2) ta suy ra B′C⊥(AMH). Từ đó suy ra góc giữa mặt phẳng (AB′C) và mặt phẳng (BCC′B′) là góc giữa AH và MH. Mà tam giác AMH vuông tại H nên ⇒^AHM=60∘.
⇒MH=AM.cot60∘=a√62.1√3=a√22.
Tam giác B′BC đồng dạng với tam giác MHC nên suy ra sin^HCM=MHMC=a√22a√62=1√3
⇒1+tan2^MCH=11−sin2^MCH=11−13=32⇒tan^MCH=√22
⇒BB′=BC.tan^MCH=a√6.√22=a√3
⇒VAB′CA′C′=VB′.ACC′A′=13B′A′.AC.AA′=13.a√3.a√3.a√3=a3√3.