Cho ba điểm $\Large A\left( 1\,;\,1\,;\,1 \right)$, $\Large B\left( 0\

Cho ba điểm $\Large A\left( 1\,;\,1\,;\,1 \right)$, $\Large B\left( 0\,;\,0\,;\,2 \right)$, $\Large C\left( 2\,;\,3\,;\,-2 \right)$ và đường thẳng $\Large \Delta :\left\{ \begin{matrix} & x=2+t \\  & y=1-t \\  & z=t \\ \end{matrix} \right.$. Biết điểm $\Large M\left(a; b; c \right)$ với $\Large a>0$ thuộc mặt phẳng$\left( ABC \right)$ sao cho $\Large AM\bot \Delta $ và $\Large AM=\sqrt{14}$. Tính giá trị của biểu thức $\Large T=a+b+c$.

• A. $\Large T=-1$.
• B. $\Large T=5$.
• C. $\Large T=7$.
• D. $\Large T=-6$.

Chọn C

Ta có $\Large \Delta $  có một vectơ chỉ phương là $\Large \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1\,;\,-1\,;\,1 \right)$.

$\Large \overrightarrow{AB}=\left( -1\,;\,-1\,;\,1\, \right)$, $\Large \overrightarrow{AC}=\left( 1\,;\,2\,;\,-3 \right)$

$\Large \Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB}\,,\,\overrightarrow{AC} \right]=\left( 1\,;\,-2\,;\,-1 \right)$.

Mặt phẳng $\Large \left( ABC \right)$ nhận vectơ $\Large \overrightarrow{{{n}_{\left( ABC \right)}}}=\left[ \overrightarrow{AB}\,,\,\overrightarrow{AC} \right]=\left( 1\,;\,-2\,;\,-1 \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Gọi $\Large \left( Q \right)$ là mặt phẳng qua $\Large A$ và vuông góc với đường thẳng $\Large \Delta $

$\Large \Rightarrow $  mặt phẳng $\Large \left( Q \right)$ nhận vectơ $\Large \overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1\,;\,-1\,;\,1 \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Khi đó $\Large AM\bot \Delta \Leftrightarrow AM\subset \left( Q \right)\Rightarrow M\in \left( Q \right)$.

Mặt khác theo giả thiết $\Large M\in \left( ABC \right)$ $\Large \Rightarrow M\in $\Large  giao tuyến  $\Large d$ của hai mặt phẳng $\Large \left( ABC \right)$ và $\Large \left( Q \right)$.

Đường thẳng $\Large d$ nhận vectơ $\Large \left[\overrightarrow{{{n}_{Q}}}\,,\,\overrightarrow{{{n}_{\left( ABC \right)}}}\, \right]=\left( 3\,;\,2\,;\,-1 \right)$ làm vectơ chỉ phương, đồng thời đi qua $\Large A$

$\Large \Rightarrow $\Large  PT $\Large d:\left\{ \begin{matrix}& x=1+3t \\ & y=1+2t \\ & z=1-t \\ \end{matrix} \right.$.

Ta có $\Large M\in d\Rightarrow M=\left( 1+3t\,;\,1+2t\,;\,1-t \right)$.

Theo giả thiết $\Large A{{M}^{2}}=14\Leftrightarrow {{\left( 3t \right)}^{2}}+{{\left( 2t \right)}^{2}}+{{\left( -t \right)}^{2}}=14\Leftrightarrow 14{{t}^{2}}=14\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}& t=-1 \\ & t=1 \\ \end{matrix} \right.$.

Với  $\Large t=-1\Rightarrow M=\left( -2\,;\,-1\,;\,2 \right)$ (loại).

Với  $\Large t=1\Rightarrow M=\left( 4\,;\,3\,;\,0 \right)$ (nhận)

Khi đó $\Large a=4;\,b=3;\,c=0$.

Vậy $\Large a+b+c=7$.