Gọi $\Large S$ là tập hợp các số phức $\Large z$ thỏa mãn $\Large \lef

Gọi $\Large S$ là tập hợp các số phức $\Large z$ thỏa mãn $\Large \left| z-1 \right|=\sqrt{34}$ và $\Large \left| z+1+mi \right|=\left| z+m+2i \right|$, (trong đó $\Large m\in \mathbb{R}$). Gọi $\Large {{z}_{1}}$, $\Large {{z}_{2}}$ là hai số phức thuộc $\Large S$ sao cho $\Large \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ lớn nhất, khi đó giá trị của $\Large \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|$ bằng

• A. $\Large 2$
• B. $\Large 10$
• C. $\Large \sqrt{2}$
• D. $\Large \sqrt{130}$

Chọn A

Đặt $\Large z=x+yi$, $\Large \left( x\,,y\in \mathbb{R} \right)$. Khi đó

$\Large \left| z-1 \right|=\sqrt{34}$ $\Large \Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=34$; $\Large \left| z+1+mi \right|=\left| z+m+2i \right|$ $\Large \Leftrightarrow 2\left( m-1 \right)x+2\left( 2-m \right)y+3=0$.

Do đó tập hợp các điểm $\Large M$ biểu diễn số phức $\Large z$ là giao điểm của đường tròn $\Large \left( C \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=34$ và đường thẳng $\Large d:2\left( m-1 \right)x+2\left( 2-m \right)y+3=0$.

Gọi $\Large A$, $\Large B$ là hai điểm biểu diễn $\Large {{z}_{1}}$ và $\Large {{z}_{2}}$. Suy ra $\Large \left( C \right)\cap d=\left\{ A,B \right\}$.

Mặt khác $\Large \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=AB\le 2R=2\sqrt{34}$ do đó $\Large \max \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2\sqrt{34}\Leftrightarrow AB=2R\Leftrightarrow I\left( 1\,;0 \right)\in d$.

Từ đó ta có $\Large m=-\dfrac{1}{2}$ nên $\Large d:3x-5y-3=0$ $\Large \Rightarrow \left[\begin{matrix}& {{z}_{1}}=6+3i \\ & {{z}_{2}}=-4-3i \\ \end{matrix} \right.$.

Vậy $\Large \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=2$.