Trong không gian $\Large Oxyz$ cho các điểm $\Large A\left( 1;-1;3 \ri

Trong không gian $\Large Oxyz$ cho các điểm $\Large A\left( 1;-1;3 \right)$, $\Large B\left( 2;1;0 \right)$, $\Large C\left( -3;-1;-3 \right)$ và mặt phẳng $\Large \left( P \right):x+y-z-4=0$. Gọi $\Large M\left( a,b,c \right)$ là điểm thuộc mặt phẳng $\Large \left( P \right)$ sao cho biểu thức $\Large T=\left| 3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức $\Large S=a+b+c$.

• A. $\Large S=3$.
• B. $\Large S=-1$.
• C. $\Large S=2$.
• D. $\Large S=1$.

Chọn C

Gọi $\Large I\left( x;y;z \right)$ là điểm thỏa mãn $\Large 3\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

Ta có $\Large \overrightarrow{IA}=\left( 1-x;-1-y;3-z \right)\Rightarrow 3\overrightarrow{IA}=\left( 3-3x;-3-3y;9-3z \right)$

$\Large \overrightarrow{IB}=\left( 2-x;1-y;-z \right)\Rightarrow 2\overrightarrow{IB}=\left( 4-2x;2-2y;-2z \right)$

$\Large \overrightarrow{IC}=\left( -3-x;-1-y;-3-z \right)$

Khi đó $\Large 3\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\left( -2x-4;-2y-6;-2z+6 \right)=\overrightarrow{0}$

$\Large \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}& -2x-4=0 \\ & -2y-6=0 \\ & -2z+6=0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}& x=-2 \\ & y=-3 \\ & z=3 \\\end{matrix} \right.$. Vậy $\Large I\left( -2;-3;3 \right)$

Ta có $\Large T=\left| 3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=\left| 3\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)-2\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)+\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right) \right|=2\left| \overline{MI} \right|$

Suy ra $\Large {{T}_{\min }}\Leftrightarrow {{\left| \overrightarrow{MI} \right|}_{\min }}$ khi và chỉ khi $\Large M$ là hình chiếu của $\Large I$ lên mặt phẳng $\Large \left( P \right)$

Đường thẳng $\Large MI$ đi qua $\Large I\left( -2;-3;3 \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\Large \left( P \right)$ có phương trình tham số là $\Large MI:\left\{ \begin{matrix}& x=-2+t \\ & y=-3+t \\& z=3-t \\ \end{matrix} \right.$. Lấy $\Large M\left( -2+t;-3+t;3-t \right)\in MI$

Mặt khác $\Large M\in \left( P \right)\Rightarrow \left( -2+t \right)+\left( -3+t \right)-\left( 3-t \right)-4=0\Rightarrow t=4$

Suy ra $\Large M\left( 2;1;-1 \right)$. Vậy $\Large a+b+c=2$