Cho $\Large x, y$ thỏa mãn $\Large 3^{x+1+\dfrac{1}{4x}}-\mathrm{log}_

Cho $\Large x, y$ thỏa mãn $\Large 3^{x+1+\dfrac{1}{4x}}-\mathrm{log}_2\big[510-(y-2)\sqrt{y+1}\big]=0$ với $\Large x > 0.$ Giá trị của biểu thức $\Large P=4x^2-28y^2+6x^2y+2020$ là:

• A.

  A. $\Large 2020.$

• B.

  B. $\Large 2022.$

• C.

  C. $\Large 2019.$

• D.

  D. $\Large 2021.$

Chọn D

Xét $\Large 3^{x+1+\dfrac{1}{4x}}=\mathrm{log}_2\big[510-(y-2)\sqrt{y+1}\big]$
Ta thấy $\Large 3^{x+\dfrac{1}{4x}+1} \geq 3^{2.\sqrt{x.\dfrac{1}{4x}}+1}=9$ $\Large \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2} \ (1)$
Ta có $\Large 510-(y-2)\sqrt{y+1}=510-(y+1-3)\sqrt{y+1}$ $\Large =510+3\sqrt{y+1}-\sqrt{(y+1)^3}$
Đặt $\Large \sqrt{y+1}=t (t \geq 0)$
Xét $\Large f(t)=510+3t-t^3$
$\Large {f}'(t)=-3t^2+3$
$\Large {f}'(t)=0$ $\Large \Rightarrow \left[\begin{align} & t = -1 \notin [0; +\infty] \\ & t=1 \in [0; +\infty] \end{align}\right.$

Ta có bảng biến thiên sau:

$\Large \underset{[0; +\infty]}{\max}f(t)=f(1)=512$
$\Large \Rightarrow \mathrm{log}_2\big[510-(y-2)\sqrt{y+1}\big] \leq \mathrm{log}_2512=9 \ (2)$
Từ $\Large (1)$ và $\Large (2)$ $\Large \Rightarrow$ ta có $\Large \text{VT} \geq 9, \text{VP} \leq 9$
Dấu "$\Large =$" xảy ra $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}&x=\dfrac{1}{2}\\ &\sqrt{y+1}=1 \end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow \left\{\begin{align} & x=\dfrac{1}{2} \\ & y=0  \end{align}\right.$
Thay $\Large x, y$ vào $\Large P=4.\left(\dfrac{1}{2}\right) ^2+28.0+26.\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)^2.0+2020=2021$