Cho $\Large x, y$ là các số thực dương thỏa mãn $\Large \mathrm{log}_3

Cho $\Large x, y$ là các số thực dương thỏa mãn $\Large \mathrm{log}_3x+\mathrm{log}_3y \geq \mathrm{log}_3(x+y^2).$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\Large T=x+3y$ là

• A.

  A. $\Large \dfrac{25\sqrt{2}}{4}.$

• B.

  B. $\Large 8.$

• C.

  C. $\Large 9.$

• D.

  D. $\Large \dfrac{17}{2}.$

Chọn C

Ta có $\Large \mathrm{log}_3x+\mathrm{log}_3y \geq \mathrm{log}_3(x+y^2)$ $\Large \Leftrightarrow \mathrm{log}_3(xy) \geq \mathrm{log}_3(x+y^2)$ $\Large \Leftrightarrow xy \geq x+y^2 \Leftrightarrow x(y-1) \geq y^2$
Do $\Large x > 0, y > 0$ $\Large \Rightarrow  y-1 > 0 \Leftrightarrow y > 1$
Khi đó $\Large x(y-1) \geq y^2 \Leftrightarrow x \geq \dfrac{y^2}{y-1}=y+1+\dfrac{1}{y-1}$
Vậy $\Large T=x+3y \geq 4y+1+\dfrac{1}{y-1}$
Xét $\Large f(y)=4y+1+\dfrac{1}{y-1}$ trên $\Large (1; +\infty)$
Ta có $\Large {f}'(y)=4-\dfrac{1}{(y-1)^2}, {f}'(y)=0 \Leftrightarrow 4-\dfrac{1}{(y-1)^2}=0$ $\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align} & y-1=\dfrac{1}{2} \\ & y-1=-\dfrac{1}{2} \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align} & y=\dfrac{3}{2} \in (1; +\infty) \\ & y=\dfrac{1}{2} \notin (1; +\infty) \end{align}\right..$
Mặt khác: $\Large f\bigg(\dfrac{3}{2}\bigg)=9, \underset{x\rightarrow 1^+}{\lim}f(y)=+\infty, \underset{x\rightarrow +\infty}{\lim}f(y)=+\infty.$

Vậy $\Large \underset{(1; +\infty)}{\min}f(y)=9.$