Trong tất cả các cặp số thực $\Large (x; y)$ thỏa mãn $\Large \mathrm{

Trong tất cả các cặp số thực $\Large (x; y)$ thỏa mãn $\Large \mathrm{log}_{\frac{1}{2}}(x+2y)-1 \leq \mathrm{log}_{\frac{1}{2}}(x^2+y^2+1)$ chỉ có duy nhất một cặp số $\Large (x; y)$ sao cho $\Large x-2y-m=0, (m\in \mathbb{R}).$ Khi đó tổng tất cả các giá trị của $\Large m$ thỏa mãn là

• A.

  A. $\Large 6.$

• B.

  B. $\Large 14.$

• C.

  C. $\Large -6.$

• D.

  D. $\Large 8.$

Chọn C

Ta có $\Large \mathrm{log}_{\frac{1}{2}}(x+2y) -1 \leq \mathrm{log}_{\frac{1}{2}}(x^2+y^2+1)$ $\Large \Leftrightarrow \mathrm{log}_2(2x+4y) \geq \mathrm{log}_2(x^2+y^2+1)$

$\Large \Leftrightarrow x^2+y^2+1 \leq 2x+4y$
$\Large \Leftrightarrow (x-1)^2+(y-2)^2 \leq 4.$
Chỉ có duy nhất một cặp số $\Large (x; y)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi đường thẳng $\Large \Delta: x-2y-m=0$ tiếp xúc với đường tròn tâm $\Large I(1; 2),$ bán kính $\Large R=2$
$\Large \Leftrightarrow d(I, \Delta)=R \Leftrightarrow \dfrac{|m+3|}{\sqrt{5}}=2 \Leftrightarrow m=-3\pm 2\sqrt{5}.$

Vậy tổng tất cả các giá trị của $\Large m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán bằng $\Large -6.$