Cho hàm số $\Large y=f(x)$ có đạo hàm trên $\Large \mathbb{R}.$ Gọi $\

Cho hàm số $\Large y=f(x)$ có đạo hàm trên $\Large \mathbb{R}.$ Gọi $\Large \Delta_1, \Delta_2$ lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $\Large y=f(x)$ và $\Large y=g(x)=3x^2.f(3x-4)$ tại điểm có hoành độ bằng $\Large 2.$ Biết $\Large \Delta_1$ vuông góc $\Large \Delta_2$ và $\Large 0 < f(2) \leq 1.$ Khi đó $\Large \Delta_1$ và $\Large \Delta_2$ lần lượt có phương trình là

 

• A.

  A. $\Large \Delta_1: y=\dfrac{\sqrt{3}}{6}x,$ $\Large \Delta_2: y=-2\sqrt{3}x+\dfrac{13\sqrt{3}}{3}.$

• B.

  B. $\Large \Delta_1: y=\dfrac{1}{6}x+\dfrac{2}{3},$ $\Large \Delta_2: y=-6x+24.$

• C.

  C. $\Large \Delta_1: y=-\dfrac{\sqrt{3}}{6}x+\dfrac{2\sqrt{3}}{3},$ $\Large \Delta_2: y=2\sqrt{3}x-\dfrac{11\sqrt{3}}{3}.$

• D.

  D. $\Large \Delta_1: y=-\dfrac{1}{6}x+\dfrac{4}{3},$ $\Large \Delta_2: y=6x.$

Chọn D

Ta có $\Large g(2)=12f(2)$

$\Large \Delta_1\perp \Delta_2 \Rightarrow g'(2).f'(2)=-1$

$\Large {g}'(x)=6x.f(3x-4)+9x^2{f}'(3x-4)$

$\Large \Rightarrow {g}'(2)=12f(2)+36{f}'(2)=12f(2)-\dfrac{36}{{g}'(2)}$

$\Large \Rightarrow {g}'(2)+\dfrac{36}{{g}'(2)}=12f(2)$

$\Large \Rightarrow 0<{g}'(2)+\dfrac{36}{{g}'(2)}\leq 12$ $\Large \Leftrightarrow \big[{g}'(2)-6\big]^2 \leq 0$ $\Large \Leftrightarrow {g}'(2)=6$ $\Large \Rightarrow {f}'(2)=-\dfrac{1}{6}$ $\Large \Rightarrow f(2)=1$
Vậy

$\Large \Delta_1: y={f}'(2)(x-2)+f(2)$ $\Large =-\dfrac{1}{6}(x-2)+1$ $\Large =-\dfrac{1}{6}x+\dfrac{4}{3}.$
$\Large \Delta_2: y={g}'(2)(x-2)+g(2)$ $\Large =6(x-2)+12$ $\Large =6x.$