Cho $\Large x, y$ là số thực dương, $\Large x; y > 1$ thỏa mãn $\Large

Cho $\Large x, y$ là số thực dương, $\Large x; y > 1$ thỏa mãn $\Large \log_{2}x + \log_{2}y + 1 \geq \log_{2}(x^{2} + 2y)$. Giá trị nhỏ nhất của $\Large P = x + 2y$ bằng

• A.

  $\Large 9$

• B.

  $\Large 2 + 3\sqrt{2}$

• C.

  $\Large 3\sqrt{2} + 3$

• D.

  $\Large 2\sqrt{2} + 3$

Chọn D

Ta có:

$\Large \log_{2}x + \log_{2}y + 1 \geq \log_{2}(x^{2} + 2y)$

$\Large \Leftrightarrow 2xy \geq x^{2} + 2y$

$\Large \Leftrightarrow 2y(1 - x) + x^{2} \leq 0$

$\Large \Leftrightarrow (x + 2y - x)(1 - x) + x^{2} \leq 0$

$\Large \Leftrightarrow (P -x)(1 - x) + x^{2} \leq 0$

$\Large \Leftrightarrow 2x^{2} - (P + 1)x + P \leq 0$ (1)

Nếu $\Large \Delta < 0 \Leftrightarrow 2x^{2} - (P + 1)x + P \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}$ nên không thỏa mãn.

Nếu $\Large \Delta \geq 0$ 

$\Large \Leftrightarrow P^{2} - 6P + 1 \geq 0$ 

$\Large \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}P \leq 3 -2\sqrt{2} \\P \geq 3 + 2\sqrt{2} \\\end{array}\right.$ 

$\Large \Rightarrow P_{\min} = 2\sqrt{2} + 3$