Cho $\Large x, y$ là các số thực thỏa $\Large x^{2} - xy + y^{2} = 1$.

Cho $\Large x, y$ là các số thực thỏa $\Large x^{2} - xy + y^{2} = 1$. Gọi $\Large M, m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $\Large P = \dfrac{x^{4} + y^{4}+ 1}{x^{2} + y^{2}+ 1}$. Giá trị của $\Large A = M + 15m$ là:

• A.

  A. $\Large 17 + \sqrt{6}$

• B.

  B. $\Large 17 - 2\sqrt{6}$

• C.

  C. $\Large 17 - \sqrt{6}$

• D.

  D. $\Large 17 + 2\sqrt{6}$

Chọn B

Ta có:

$\Large x^{2} - xy + y^{2} = 1 \Leftrightarrow 3xy + 1 = (x + y)^{2} \geq 0 \Rightarrow xy \geq -\dfrac{1}{3}$

$\Large x^{2} - xy + y^{2} = 1 \Leftrightarrow xy = 1 - (x - y)^{2} \leq 1\Rightarrow xy \leq 1$

Đặt $\Large t = xy$ với $\Large -\dfrac{1}{3} \leq t \leq 1$.

Theo đề bài ta có: $\Large  x^{2} + y^{2} = 1 + t$.

$\Large P=\dfrac{-t^2+2t+2}{t+2}=f(t)$

$\Large f'(t) = \dfrac{-t^{2} - 4t + 2}{(t + 2)^{2}} = 0$

$\Large  f{}'(t) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t = -2 + \sqrt{6}\in \left [ -\dfrac{1}{3}; 1 \right ] \\ t = -2 - \sqrt{6}\notin \left [ -\dfrac{1}{3}; 1 \right ]\end{array}\right.$

Ta có:

$\Large f\left ( -\dfrac{1}{3} \right ) = \dfrac{11}{15};$

$\Large f\left ( 1 \right ) = 1;$ 

$\Large f\left ( \sqrt{6} - 2 \right ) = 6 - 2\sqrt{6}$

Khi đó:

$\Large M = 6 - 2\sqrt{6}$ và $\Large m = \dfrac{11}{15}$

$\Large \Rightarrow M + 15m = 6 - 2\sqrt{6} + 15.\dfrac{11}{15} = 17 - 2\sqrt{6}$