Cho các số thực $\Large a, b$ thỏa mãn điều kiện $\Large 0 < b < a < 1

Cho các số thực $\Large a, b$ thỏa mãn điều kiện $\Large 0 < b < a < 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\Large P = log_{a}\dfrac{4(3b - 1)}{9}+8\left ( log_{\dfrac{b}{a}}a \right )^{2} - 1$

• A.

  A. $\Large 6$

• B.

  B. $\Large 3\sqrt[3]{2}$

• C.

  C. $\Large 8$

• D.

  D. $\Large 7$

Chọn D

Từ $\Large \left ( 3b - 2 \right )^{2} \geq 0 \Leftrightarrow 9b^{2} - 12b + 4 \geq 0\Leftrightarrow \dfrac{4(3b - 1)}{9} \leq b^{2}$ với $\Large  0 < b < a < 1$.

Suy ra:

$\Large P \geq  log_{a}b^{2}+8\left ( log_{\dfrac{b}{a}}a \right )^{2} - 1$ 

$\Large = 2\left ( log_{a}b - 1 \right )+8\left ( log_{\dfrac{b}{a}}a \right )^{2} + 1 = 8\left ( log_{\dfrac{b}{a}}a \right )^{2} + 2log_{a}\dfrac{b}{a} + 1$

$\Large =8\left ( log_{\dfrac{b}{a}}a \right )^{2} + \dfrac{2}{log_{\dfrac{b}{a}}a} + 1 =8\left ( log_{\dfrac{b}{a}}a \right )^{2} + \dfrac{1}{log_{\dfrac{b}{a}}a} + \dfrac{1}{log_{\dfrac{b}{a}}a} + 1$

$\Large \geq 3\sqrt[3]{8\left ( log_{\dfrac{b}{a}}a \right )^{2} . \dfrac{1}{log_{\dfrac{b}{a}}a} . \dfrac{1}{log_{\dfrac{b}{a}}a} }+ 1 = 7$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $\Large P$ là 7 khi và chỉ khi:

$\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3b - 2 = 0\\ 8\left ( \log_{\dfrac{b}{a}} a\right )^{2} = \dfrac{1}{\log_{\dfrac{b}{a}}a}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}b = \dfrac{2}{3}\\ a = \sqrt[3]{\dfrac{2}{3}}\end{matrix}\right.$