Cho $\Large x, y$ là các số thực dương thỏa mãn $\Large 2^{x+y+2xy-3}=

Cho $\Large x, y$ là các số thực dương thỏa mãn $\Large 2^{x+y+2xy-3}=\dfrac{1-xy}{x+y}$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\Large x^2+y^2+2\sqrt{5}$ bằng

• A.

  $\Large 3-2\sqrt{5}$.

• B.

  $\Large 3+2\sqrt{5}$.

• C.

  $\Large 3-\sqrt{5}$.

• D.

  $\Large 3+\sqrt{5}$.

Chọn D

+ Điều kiện để tồn tại $\Large x, y > 0$ thỏa ycbt là: $\Large \left\{\begin{align} & 1-xy > 0\\ & x, y > 0 \end{align}\right.$

Với điều kiện trên ta có: $\Large 2^{x+y+2xy-3}=\dfrac{1-xy}{x+y}$ $\Large \Leftrightarrow x+y+2xy-3=\log_2(1-xy)-\log_2(x+y)$

$\Large \Leftrightarrow \log_2\left(\dfrac{x+y}{2}\right)+x+y=\log_2(1-xy)+2(1-xy)$

Xét hàm số $\Large f(t)=\log_2(t)+2t$, $\Large t>0$, $\Large f(t)$ là hàm số đồng biến trên $\Large (0; +\infty)$.

Mà $\Large f\left(\dfrac{x+y}{2}\right)=f(1-xy)$ $\Large \Leftrightarrow \dfrac{x+y}{2}=1-xy$ $\Large \Rightarrow \dfrac{x+y}{2}\geq 1-\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2$ $\Large \Rightarrow \dfrac{x+y}{2}\geq \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$ $\Large \Rightarrow x+y\geq -1+\sqrt{5}$

+ Ta có: $\Large x^2+y^2+2\sqrt{5}\geq \dfrac{(x+y)^2}{2}+2\sqrt{5}\geq 3+\sqrt{5}$ dấu bằng xảy ra khi $\Large x=y=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$

hay $\Large \min \left(x^2+y^2+2\sqrt{5}\right)=3+\sqrt{5}$ khi $\Large x=y=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$.