Cho $\Large \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos x}{(\sin x)^{2

Cho $\Large \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos x}{(\sin x)^{2} - 5\sin x + 6}dx = a \ln \dfrac{4}{c} + b,$ với $\Large a, b$ là các số hữu tỉ, $\Large c > 0.$ Tính tổng $\Large S = a + b + c.$

• A.

  A. $\Large S = 1.$

• B.

  B. $\Large S = 3.$

• C.

  C. $\Large S = 4.$

• D.

  D. $\Large S = 0.$

Chọn C

Đặt $\Large I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos x}{(\sin x)^{2} - 5\sin x + 6}dx.$

Đổi biến $\Large t = \sin x$, ta có $\Large dt = \cos x dx.$

Đổi cận:

$\Large x = 0 \Rightarrow t = 0$

$\Large x = \dfrac{\pi}{2} \Rightarrow t = 1.$

Khi đó ta được:

$\Large I = \int_{0}^{1}\dfrac{1}{t^{2} - 5t + 6}dt$ 

$\Large = \int_{0}^{1}\dfrac{1}{(t-2)(t-3)}dt$ 

$\Large = \int_{0}^{1}\left ( \dfrac{1}{t -3} - \dfrac{1}{t -2}\right )dt$ 

$\Large = \ln \left | \dfrac{t - 3}{t - 2} \right |\bigg|_0^{1}$ 

$\Large = \ln 2 - \ln \dfrac{3}{2}$ 

$\Large = \ln \dfrac{4}{3}.$

Do đó: $\Large a = 1, b = 0, c = 3$

$\Large \Rightarrow S = a + b + c = 4.$